Cтраница 3
В случае бесконечной меры приведенное определение отличается от общепринятого. Это объясняется патологическими свойствами обычной сходимости по мере в этом случае. [31]
При п 1 получаем пространство R1, которое состоит из множества вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения, в котором нормой является абсолютная величина числа. Ясно, кто сходимость по такой норме является обычной сходимостью число-гых последовательностей. Полнота пространства R1 является следствием аксиомы полноты множества вещественных чисел: всякая фундаментальная последовательность вещественных чисел является сходящейся. Доказано, что эти аксиомы эквивалентны. [32]
Таким образом, эту теорему следует рассматривать как одно из решений вопроса: можно ли изобразить тригонометрическим рядом любую измеримую функцию, не обязательно конечную почти всюду. Этот вопрос, как мы уже отмечали, не раз, для случая обычной сходимости не решен. [33]
Сходимость по вероятности, сходимость в среднем квадратическом и сходимость почти наверное представляют собой особые, вероятностные виды сходимости. В частном случае последовательности неслучайных вели-1 чин все эти три вида сходимости совпадают с обычной сходимостью. Таким образом, каждый из трех видов вероятностной сходимости представляет собой естественное обобщение обычного понятия сходимости на случайные величины. [34]
Далее доказывается, что предельная функция обладает свойствами (45.58) - (45.62) и что возможна только одна функция с этими свойствами. Из этой единственности следует известным способом, что не только подпоследовательность ип ( t слабо сходится в пространстве L2 ( /, V) к функции u ( t) y но и вся последовательность ип ( t обладает этим свойством. Обычная сходимость последовательности ип ( х, t) к функции и ( х, t) в пространстве L2 ( G) следует тогда из определенных свойств обобщенных производных функций ип ( ху t), полученных в цитируемой статье. [35]
Возникает вопрос, необходимо ли для изобразимости функции тригонометрическим рядом предполагать, что она почти всюду конечна. Если же речь идет не о суммируемости, а об обычной сходимости, то проблема не решена до сих пор. [36]
Мы видим, что при доказательстве сходимости последовательности аппроксимаций Паде к мероморфной функции использовалось прежде всего свойство равностепенной непрерывности этой последовательности. Результаты такого характера наиболее естественно формулируются в терминах сходимости на сфере Римана. К ним принадлежит и заключительная теорема этого параграфа, в которой, однако, используется обычная сходимость. [37]
Напомним, что, согласно определению (48.4) из § 48 гл. Такое понятие сходимости особенно удобно в вариационном исчислении, так как в каждый данный момент мы рассматриваем только одну задачу, а значит, имеем дело только с одной подинтегральной функцией. Таким образом, мы одним ударом избавились от необходимости вводить специальные ограничения, аналогичные условию полунепрерывности интеграла 3 ( С), как у Тонелли. Относительно такой сходимости ( которую мы будем называть тонкой в отличие от рассмотренной раньше обычной сходимости кривых) 3 ( С) превращается в непрерывную функцию от С. [38]
Следствие 2 теоремы 6.5.1 о сходимости строк представляет собой сильный результат. В связи с этим теорему можно рассматривать как утверждение о том, что исключительное множество для всей строки можно сделать как угодно малым; это исключительное множество состоит из полюсов / ( z) и других предельных точек полюсов аппроксимаций. Сформулированное на языке сходимости по мере, следствие 2, очевидно, включает многие более ранние результаты об обычной сходимости. [39]
При этом, говоря, что точка М / плоскости П стремится к точке М, мы под этим понимаем, что прямая тг связки S, соответствующая точке M t стремится к прямой т, соответствующей точке Af. Но в том случае, когда Af - собственная точка, сходимость, понимаемая в этом смысле, совпадает с обычной сходимостью точек на плоскости тс. А отсюда и следует, что касательная прямая к линии 0, проведенная через собственную точку этой линии, есть касательная в обычном смысле к соответствующему эллипсу, гиперболе или параболе. [40]
Характерной чертой аппроксимации Паде является то, что это рациональная функция. Поэтому если существует предел последовательности аппроксимаций Паде, то этот предел должен быть мероморфной ( или даже голоморфной) функцией в некоторой области комплексной плоскости. Естественно ожидать, что полюсы и вычеты аппроксимаций Паде стремятся к соответствующим характеристикам предельной функции. Однако, так как величина аппроксимации Паде в окрестности полюса предельной функции становится как угодно большой, сходимость в обычном смысле в окрестности полюса невозможна. Простейший технический прием, позволяющий преодолеть это затруднение, состоит в использовании сферической метрики. Обычная сходимость заменяется на сходимость на сфере. [41]