Cтраница 1
Относительная внутренность пХ выпуклого множества X выпукла. [1]
Теорема 1.11. Относительная внутренность ri X любого ( непустого) выпуклого множества X С Rn непуста. [2]
Отметим, что относительная внутренность и замыкание выпуклого конуса всегда являются выпуклыми конусами. [3]
По следствию 6.6.2 его относительная внутренность равна ri Ct - ri С2, так что 0 ( ri С тогда и только тогда, когда ri Ci и ri С2 не пересекаются. Если 0 ri С, то по предыдущей теореме найдется гиперплоскость, содержащая М 0 и такая, что ri С лежит в одном из порожденных ею открытых полупространств. [4]
Весьма полезна следующая характеризация относительной внутренности. [5]
Непустое выпуклое множество имеет непустую относительную внутренность. [6]
Грани, содержащие в своей относительной внутренности как эффективные, так и неэффективные точки, будем называть изломанными гранями. Для преодоления указанных трудностей вводятся две модификации. Прежде всего, будет определено множество полуэффективных точек Rx. При этом такие точки, как х2, х3 и х не являющиеся крайними в X, грани типа со х2, х3 и со х, х5, не являющиеся гранями в X, становятся вершинами и гранями ДДО. [7]
С) имеет те же относительную внутренность и замыкание, что и dom2 К - Отсюда следует, что функция с. [8]
D, такая, что точка 2 расположена в относительной внутренности отрезка прямой между хну. [9]
С выпуклая функция К ( и, ) замкнута и относительная внутренность ее эффективного множества совпадает с D аналогично для функции L ( и, ) Более того, К ( и, ) и L ( и, ) равны на D при и 6 С, поскольку они имеют одинаковые ядра. Совпадение К ( и, ) и L ( и, при и 6 С можно выразить и иначе: вогнутые функции К ( -, v) и L (, v) принимают одни и те же значения на С при всех v 6 п - В силу свойств ( d), ( е) и ( f) из теоремы 34.3 функции К (, v) и L (, v) - собственные, причем относительные внутренности их эффективных множеств равны С, если v 6 D, и несобственные, равные оо на С, если v D. [10]
Если множество MczRn выпукло, то его замыкание М и относительная внутренность пМ также являются выпуклыми множествами. [11]
Теорема 10.2. Выпуклая функция f непрерывна в каждой точке XQ относительной внутренности. [12]
Не ограничивая общность, можно считать, что А лежит в относительной внутренности 5 ( 0) симплекса S, иначе можно заменить S одной из его граней ( и уменьшить т), см. пример 1.4. Нсли при этом х - о, то утверждение теоремы 6.2 тривиально, достаточно взять в качестве симплициального многогранного угла любой луч в U Ca, поэтому считаем далее х фо. [13]
Можно указать большое число операций над выпуклыми множествами, которые сохраняют относительную внутренность. Однако с замыканиями дело обстоит значительно сложнее. Когда образ замкнутого множества является замкнутым. [14]
Следующая фундаментальная теорема выпуклого анализа показывает, что для выпуклых множеств понятие относительной внутренности является содержательным обобщением понятия внутренности. [15]