Cтраница 3
Когда обе функции / и g полиэдральны и а inf ( / - g) конечно, для доказательства существования х, такого, что g ( х) - - / ( л: ) - а, можно использовать иную аргументацию, никак не связанную со свойствами относительной внутренности. Так как С и D полиэдральны ( поскольку / и g полиэдральны), то и С - D полиэдрально в силу следствия 19.3.2 и, следовательно, замкнуто. Каждое из этих полупространств содержит начало координат, но по крайней мере одно из них должно быть отделено от полупрямой ( 0, i) р, 0, так как иначе эта полупрямая пересекала бы С - D, что, как мы уже показали, невозможно. [31]
Пусть С - замкнутое выпуклое множество, не являющееся аффинным множеством или замкнутой половиной аффинного множества. Тогда любая точка относительной внутренности С принадлежит некоторому отрезку прямой, соединяющей две точки относительной границы множества С. [32]
Для выпуклых множеств понятие внутренности может быть несколько обобщено. Речь идет о понятии относительной внутренности, весьма удобном для выпуклых множеств. Введение его мотивируется тем, что, например, прямо линейный отрезок или треугольник в Я13 не имеют внутренности, но имеют таковую в своей аффинной оболочке. Относительной внутренностью выпуклого множества С в Шп ( обозначение: ri С) называется совокупность внутренних точек С, если это множество рассматривать как подмножество его аффинной оболочки. [33]
Пусть теорема верна для всех замкнутых выпуклых множеств, размерность которых меньше некоторого т 1, и пусть само множество С от-мерно. По теореме 18.2 точка х относительной границы содержится в относительной внутренности некоторого фасада С, отличного от самого множества С. [34]
Таким образом, наи-м е н ь ш е г о выпуклого множества М0аМ, для которого - MQM, просто не существует. В связи с этим становится ясным, почему понятие относительной внутренности гШ не удается обобщить для произвольного выпуклого множества в бесконечномерном нормированном ( даже гильбертовом) пространстве. [35]
Между тем формулировки многих теорем конечномерной, теории выпуклости существенно используют понятие относительной внутренности. Один из возможных путей преодоления этой трудности состоит в аксиоматизации относительной внутренности, опорных и других свойств и в отыскании таких семейств ( более узких в бесконечномерном случае, чем семейство всех выпуклых множеств), которые удовлетворяют построенной аксиоматике. В построении требуемой аксиоматики могут помочь наблюдения над Vd, VH и другими удачными семействами выпуклых множеств. [36]
Применяя к inf F теорему 23.4, получаем требуемое. Функция inf F конечна в нуле, и нуль принадлежит относительной внутренности эффективного множества inf F. По теореме 7.2 отсюда следует, что inf F - собственная функция. [37]
Внутренность множества W cr Еа относительно его аффинной оболочки, размерность которой меньше d, обозначается через rel int W. ЕОЛИ множество W с: Е вьщукло, те его замыкание W и относительная внутренность rel int W также являются выпуклыми множествами. [38]
Тогда Я есть гиперплоскость с направляющим вектором х - х, пересекающая отрезок [ х, х ] во внутренней точке. Гиперплоскость Н пересекает относительную внутренность каждой грани, содержащей х, и для каждой пары таких граней F. [39]
Не исключено, конечно, что какой-нибудь честолюбивый читатель прочтет книгу от корки до корки, но, вообще говоря, она на это не рассчитана. Материал книги организован по мере возможности по тематическому принципу. Например, все результаты, касающиеся относительной внутренности выпуклых множеств, вне зависимости от их важности, собраны в одном месте ( в § 6), а не выводятся в разных местах по мере изложения основных тем. Такой способ организации материала делает книгу более удобной для справок - во всяком случае для тех, кто хоть немного знаком с предметом. Тем не менее, и начинающий может использовать книгу для того, чтобы постепенно войти в курс дела. Порядок глав в основном соответствует логической линии изложения, но во многих начальных параграфах имеется множество относящихся к более поздним параграфам мелких деталей, в которых можно завязнуть. Поэтому, чтобы использовать книгу в качестве введения в предмет, нужно произвести соответствующий отбор материала. [40]
Заметим, что если х и у - две различные точки из С, то относительно открытое выпуклое подмножество D а С, содержащее обе эти точки, существует тогда и только тогда, когда в множестве С найдется отрезок прямой, в относительной внутренности которого лежат обе точки. Если точки х и у удовлетворяют этому условию или же х у, мы будем писать х - у. Из теоремы следует, что - является соотношением эквивалентности на множестве С, причем соответствующие классы эквивалентности совпадают с относительными внутренностями непустых фасадов множества С. [41]
Для выпуклых множеств понятие внутренности может быть несколько обобщено. Речь идет о понятии относительной внутренности, весьма удобном для выпуклых множеств. Введение его мотивируется тем, что, например, прямо линейный отрезок или треугольник в Я13 не имеют внутренности, но имеют таковую в своей аффинной оболочке. Относительной внутренностью выпуклого множества С в Шп ( обозначение: ri С) называется совокупность внутренних точек С, если это множество рассматривать как подмножество его аффинной оболочки. [42]