Cтраница 2
Между тем формулировки многих теорем конечномерной, теории выпуклости существенно используют понятие относительной внутренности. Один из возможных путей преодоления этой трудности состоит в аксиоматизации относительной внутренности, опорных и других свойств и в отыскании таких семейств ( более узких в бесконечномерном случае, чем семейство всех выпуклых множеств), которые удовлетворяют построенной аксиоматике. В построении требуемой аксиоматики могут помочь наблюдения над Vd, VH и другими удачными семействами выпуклых множеств. [16]
В остальной части § 6, начиная с теоремы 6.5, приводятся многочисленные формулы для относительной внутренности выпуклых множеств, получаемых разного рода способами из других выпуклых множеств. [17]
Согласно следствию 6.3.1, эти два последних множества должны иметь также одну и ту же относительную внутренность. [18]
Наиболее важным топологическим свойством выпуклых множеств в Шп является наличие тесной связи между их замыканиями и относительными внутренностями. [19]
Следующий факт будет использован нами в § 6 при доказательстве того, что непустое выпуклое множество имеет непустую относительную внутренность. [20]
F, то вогнутая функция g - несобственная, и, значит, она тождественно равна оо на относительной внутренности своего эффективного множества. В этом случае ( Ff) ( х) должна равняться оо. В то же время F x постоянна и тождественно равна - оо, так что нижняя грань, определяющая ( F f) ( х), равна оо и, очевидно, достигается. [21]
Предположим, что С - замкнутое выпуклое м-ножество иг - такая точка, что для некоторого х 6 С относительная внутренность отрезка, соединяющего точки х и z, лежит в С. Следующую теорему можно истолковать как обобщение этого факта на тот случай, когда точка г является бесконечно удаленной. [22]
Читатель может доказать в качестве простого упражнения, что имеет место более общий факт, а именно, что относительная внутренность выпуклого конуса, порожденного непустым выпуклым множеством С в Шп, состоит из векторов вида Кх, где А, 0 и х 6 ri С. [23]
В частности, dom / и dom ( cl /) имеют одно и то же замыкание и одну и ту же относительную внутренность, равно как и размерность. [24]
Для того чтобы доказать остающиеся утверждения, поскольку / собственная, то dom / непусто, и в силу теоремы 1 имеет непустую относительную внутренность. [25]
Пусть в этих условиях Р П А - произвольная собственная грань Р ( А - опорная к Р гиперплоскость), а 0 - точка относительной внутренности ( РП) ( 0) этой грани. [26]
Этот пример можно несколько видоизменить, чтобы убедиться в необходимости учитывать и в теореме 28.2, и в следствии 28.2.2 какие-то условия, связанные с относительной внутренностью, даже когда / о линейна на С и все ограничения суть линейные равенства. [27]
Одна из функций gt или g2 в этом случае должна где-то принимать значение - Но вогнутая функция, равная в некоторой точке оо, должна обращаться в оо во всех точках относительной внутренности своего эффективного множества ( теорема 7.2), поэтому в данном случае и g где-то обращается в оо. [28]
Пусть Р ( ] Ло, где А0 - опорная к Р гиперплоскость, есть т-мерная ( 0 sj т g: п - 1) грань многогранника Р и р0 - произвольно зафиксированная точка из относительной внутренности этой грани. [29]
Заметим, что если х и у - две различные точки из С, то относительно открытое выпуклое подмножество D а С, содержащее обе эти точки, существует тогда и только тогда, когда в множестве С найдется отрезок прямой, в относительной внутренности которого лежат обе точки. Если точки х и у удовлетворяют этому условию или же х у, мы будем писать х - у. Из теоремы следует, что - является соотношением эквивалентности на множестве С, причем соответствующие классы эквивалентности совпадают с относительными внутренностями непустых фасадов множества С. [30]