Cтраница 1
Произвольный тензор pag может быть разложен на две части - симметричную и антисимметричную. [1]
Произвольный тензор рар может быть разложен на две части-симметричную и антисимметричную. [2]
Произвольный тензор второго ранга может быть однозначно представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного. [3]
На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности. [4]
Рассмотрим теперь произвольный тензор Сц и тензор d - - с, полученный из Сц перестановкой индексов. [5]
Для произвольного тензора можно теперь также определить коварйантные производные. Это будут геометрические объекты, которые в общем случае не будут тензорами, если исходный тензор имеет латинские индексы. [6]
Фш - произвольный тензор, антисимметричный по первой паре индексов. В данном случае этот последний тензор должен выражаться через производные дщ / дх, и соответственно в тензоре напряжений возникнут члены с высшими производными от вектора смещения. В рамках излагаемой в этой книге теории упругости все такие члены должны рассматриваться как малые высшего порядка и опускаться. [7]
Хш - произвольный тензор, антисимметричный по последней паре индексов; очевидно, что производные дащ / дх и ddik / dxh, определяющие силу F, тождественно совпадают. Если антисимметричная часть тензора oih имеет вид ( 2 11), то несимметричный тензор aift может быть приведен к симметричному виду преобразованием такого вида. [8]
В общем случае произвольный тензор называется симметричным относительно пары индексов, если значение каждой его компоненты не меняется при обмене местами этих индексов. Тензор антисимметричен по паре индексов, если замена их друг на друга ведет к изменению знака, но не абсолютной величины компоненты. [9]
Де Хш - произвольный тензор, антисимметричный по последней паре индексов; очевидно, что производные daih / dxk и ddih / dxh, определяющие силу F, - тождественно совпадают. Если антисимметричная часть тензора aik имеет вид ( 2 11), то несимметричный тензор aik может быть приведен к симметричному виду. [10]
Проведенный процесс обобщается на произвольные тензоры ранга k и произвольные угловые моменты J. [11]
Показать, что бивектор произвольного тензора 7 / зависит только от T [ i - ], однако произведение TtiSij тензора Тц на симметричьый тензор Si - от [ iy ] не зависит. [12]
Если условия Сен-Венана для произвольного тензора ец выполнены, то можно найти такое поле перемещений, для которого е является тензором деформаций. В случае односвязного тела перемещение определяется с точностью до перемещения абсолютного твердого тела, в случае многосвязиого - необходимо выполнение некоторых дополнительных условий. [13]
Если условия Сен-Ве нана для произвольного тензора ец выполнены, то можно найти такое поле перемещений, для которого ец является тензором деформаций. В случае односвязного тела перемещение определяется с точностью до перемещения абсолютного твердого тела, в случае многосвязного - необходимо выполнение некоторых дополнительных условий. [14]
По линейности операция свертывания распространяется на произвольные тензоры. Свертывание уменьшает ранг тензора на две единицы. [15]