Cтраница 3
Аналогично доказывается, что тензор Va ( Ф - Фс) является антисимметричным тензором. Таким образом, произвольный тензор может быть представлен ( причем единственным образом) суммой симметричного и антисимметричного тензоров. [31]
Таким образом, расходимость антисимметричного тензора сводится, так же как и расходимость вектора, к сумме производных по координатам. В случае же произвольного тензора подобное представление невозможно. [32]
Составив таким же способом матрицу из компонент тензора у х, мы получим транспонированную матрицу. То же относится и к произведению произвольных тензоров. [33]
Но упорядочиваются компоненты тензоров х у и yfyx разными способами. То же относится и к произведению произвольных тензоров. [34]
Выберем какой-нибудь базис в 2 и рассмотрим тензоры, у которых одна из компонент в данном базисе равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Существует ровно ПР Ч та шх тензоров, так как произвольный тензор типа ( р, q) имеет ПР Ч компонент. [35]
Очевидно, что величины с ср являются ковариантными компонентами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в случае, когда он применяется к произвольному тензору. [36]
Итак, операция умножения и свертывания, произведенная над метрическим тензором, снова приводит к найденным выше его смешанным компонентам. Поэтому метрический тензор как единичный тензор можно применять к вычислению всех форм компонент произвольного тензора, если известна полная совокупность этих компонент определенного строения. Умножение на метрический тензор, объединенное с действием свертывания, можно рассматривать как умножение на обобщенную единицу. [37]
Очевидно, что величины 5цф являются ковариантными компонентами 4-вектора. Векторные свойства 4-градиента сохраняются и в том случае, когда он применяется к произвольному тензору. [38]
Составив таким же способом матрицу из компонент тензора у х, мы получим транспонированную матрицу. Но упорядочиваются компоненты тензоров х у и у х разными способами. То же относится и к произведению произвольных тензоров. [39]
Результат, к которому пришел Скоутен. Чтобы параллельное перенесение, определяемое компонентами Г удовлетворяло поставленным выше требованиям, необходимо и достаточно, чтобы три его экстенсива С У, & н и Qm ( скоутены) были тензорами. Соответственно этому за скоутены могут быть приняты совершенно произвольные тензоры; и когда это сделано, то компоненты параллельного перенесения этим вполне определены: вейли однозначно ( линейно) выражаются в скоутенах. [40]
Теперь докажем утверждение, которое часто используется при установлении тензорного характера. На основании только что изложенного A B V есть скаляр, если 4 и 5ат - тензоры. Но утверждается также, что если А В для произвольного тензора В есть инвариант, то А имеет тензорный характер. [41]