Cтраница 2
Покажем, что ga представляют собой компоненты симметрического контравариантного тензора. [16]
Это утверждение легко обобщить и на случай ковариантных и контравариантных тензоров любого ранга. Наконец, из доказанного следует утверждение, которое также можно обобщить на любые тензоры: если величины A [ IVBV при любом выборе 4-вектора Bv образуют тензор первого ранга, то Ацч представляет собой тензор второго ранга. В самом деле, если О - произвольный 4-вектор, то, в силу тензорного характера АцчВ, внутреннее произведение A [ LVC BV при любом выборе обоих 4-векторов С и Bv является скаляром, откуда и следует наше утверждение. [17]
Выше мы отдавали предпочтение контравариантным тензорам, поскольку контравариантный тензор энергий-натяжений для движения несвязанных масс выражается особенно просто. Однако полученные уравнения можно столь же просто выразить и через ковариантные тензоры. [18]
Эвклидов тензор не имеет специфического характера ковариант-ного или контравариантного тензора, он может быть охарактеризован его порядком rp - - q, суммой порядков контравариантности и ковариантности одного из его представителей. [19]
Набор функций ga / 3 ( q) представляет собой контравариантный тензор второго ранга. [20]
Симметрия или косая симметрия формы от ковариант-ных аргументов и соответственно контравариантного тензора определяется в полной аналогии с предыдущим. В случае смешанного тензора свойства симметрии или косой симметрии могут иметь место для нижних индексов или для верхних индексов. Но для пары индексов, из которых один нижний, другой верхний, эти свойства не инвариантны. [21]
Его координаты, взятые в каждом базисе, образуют один раз контравариантный тензор. [22]
Для примера рассмотрим в трехмерном пространстве антисимметричный по всем индексам трижды контравариантный тензор. Пусть tijk - его общая компонента. [23]
Это обстоятельство указывает на то, что в евклидовом пространстве ковариантные и контравариантные тензоры Л / и А1, которые связаны равенствами (7.14), нельзя рассматривать как различные объекты, существующие независимо от выбора системы координат. Допустив противное, мы пришли бы к противоречию, так как в декартовой системе координат мы не могли бы обнаружить их различие. Совершенно аналогичную ситуацию мы имеем для тензоров высшего ранга, которые переводятся друг в друга посредством ( однократных или многократных) применений операций поднятия и опускания индексов. Эго обстоятельство указывает на целесообразность следующего определения. [24]
Из сказанного вытекает, что если, например, х1 - произвольный одновалентный контравариантный тензор, то его можно рассматривать как совокупность координат некоторого вектора. [25]
Эти соотношения показывают, что так определенные crxu и тХ являются компонентами контравариантного тензора второго ранга. [26]
Элементы матрицы с линейного преобразования у пространства Е3 задают 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный тензор, к-рый отождествляют суй иногда наз. [27]
Индексы, отвечающие тензорным величинам, обозначаются латинскими строчными буквами, верхние индексы отвечают контравариантным тензорам, нижние - ковариантным. Индексы, отвечающие спинорным величинам, обозначаются латинскими прописными буквами и помещаются вверху для контравариантных спиноров, внизу - для ковариантных; штрихованные индексы отвечают комплексно сопряженным спинорам. Например: со, я /, УД Фдв х АА БВ Индексы, отвечающие твисторным величинам, обозначаются строчными греческими буквами: вверху, если они отвечают твисторам, и внизу, если они отвечают дуальным твисторам. Проективные аналоги указанных тви-сторных величин выделяются полужирным шрифтом. [28]
Отсюда следует, что постоянные а сами образуют такой вектор, а постоянные шй образуют контравариантный тензор. [29]
Совокупность ковариантных координат xt вектора х образует ковариантный тензор первого ранга; совокупность контравариантных координат вектора х образует контравариантный тензор первого ранга. [30]