Cтраница 3
Эти координаты кососимметричны но любой паре своих индексов, при замене базиса в А изменяются, как координаты трижды контравариантного тензора. [31]
Обозначение, введенное в определении (30.1), наводит на мысль, что g ( i, /) образуют контравариантный тензор, и мы действительно докажем, что они определяют симметричный контравариантный тензор gij. Симметрия комплекта функций g ( i, I) следует непосредственно из того наблюдения, что детерминант, получаемый путем изъятия г-й строки и / - го столбца в симметричном детерминанте gij, имеет то же самое значение, что и детерминант, получаемый путем изъятия / - и строки и г - го столбца. Докажем теперь, пользуясь правилом частного, что g - ( i, j) преобразуются согласно контравариантному закону. [32]
Величины g v diag ( l, - 1, - 1, - 1) представляют собой компоненты контравариантного тензора второго ранга. [33]
Поскольку г - произвольная, заключаем из теоремы I, § 26, что g ( 3, i) - контравариантный тензор второго ранга. [34]
Как известно [128] любой вектор представляет собой контравари-антный тензор первого ранга, из (3.79) и (3.80) следует, что совокупность моментов порядка 2 является контравариантным тензором ранга г. Значит верхние индексы должны быть заменены нижними индексами. Мы используем нижние индексы поскольку в книге не встретятся другие тензоры. [35]
В этих формулах матрица а встречается р раз, а матрица / 3 - q раз, чем и объясняется название р раз ковариантный и q раз контравариантный тензор. Иногда этот тензор называют тензором типа ( р, д), а число p q - его валентностью или рангом. Обратим внимание на то, что числа р и q представляют собой количества нижних и верхних индексов t, что является формальным следствием принятого нами соглашения о суммировании. [36]
Мы называем объект, который по отношению ко всякой координатной системе описывается посредством 16 величин ( функций), удовлетворяющих закону преобразования ( 9), контравариантным тензором второго ранга. [37]
Обозначение, введенное в определении (30.1), наводит на мысль, что g ( i, /) образуют контравариантный тензор, и мы действительно докажем, что они определяют симметричный контравариантный тензор gij. Симметрия комплекта функций g ( i, I) следует непосредственно из того наблюдения, что детерминант, получаемый путем изъятия г-й строки и / - го столбца в симметричном детерминанте gij, имеет то же самое значение, что и детерминант, получаемый путем изъятия / - и строки и г - го столбца. Докажем теперь, пользуясь правилом частного, что g - ( i, j) преобразуются согласно контравариантному закону. [38]
Пусть apq - координаты дважды ковариантного тензора [ А ] в некотором базисе n - мерного линейного пространства, причем det A det ( apq) ф 0, и пусть матрица А-1 является матрицей дважды контравариантного тензора [ В ] % в том же базисе. [39]
Такой тензор называется симметричным ковариантным тензором. Совершенно аналогично определение симметричного контравариантного тензора. Точно так же, если в некоторой координатной системе 6 - Ьы или b ( i, ) - Ь ( Ь, ), то то же будет иметь место и в любой другой координатной системе, и соответствующие тензоры называются кососимметрическими. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых частных случаев тензоров. [40]
Такой тензор называется симметричным коаариантным тензором. Совершенно аналогично определение симметричного контравариантного тензора. [41]
Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины ok составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор okm называется контравариантным тензором напряжений. [42]
Формула (2.14) определяет контравариантные компоненты вектора напряжения на площадке, заданной нормалью п, поэтому на основании теоремы о признаке тензора заключаем, что величины akm составляют контравариантные компоненты тензора второго ранга. Тензор 0ftm называется контравариантным тензором напряжений. [43]
Если aikAiAk инвариантно для любого контравариантного тензора 1-го ранга Лг, то матрица aitt будет ковариантным симметрическим тензором 2-го ранга. [44]
Как видим, и в этом случае ранг тензора сохраняется. Нетрудно заметить, что если контравариантный тензор Л получен из ко -, вариантного тензора Л - в результате применения операции поднятия индекса, то, обратно, Л / получается из Л с помощью операции опускания индекса. [45]