Материальный тензор

Cтраница 2

Прежде всего мы должны попытаться сохранить уравнения Максвелла - Лоренца и отождествить материальный тензор энергии с максвелловским, а в уравнениях Эйнштейна просто заменить тензор кривизны римановой геометрии таким же тензором геометрии Вейля. Оказывается, однако, что лишь первая из этих двух задач осуществима, Исследуем сначала теорию Максвелла. Первая система уравнений Максвелла, как легко видеть, выполняется с самого начала. Поскольку напряженности поля Pik - нулевого веса, го и контравариантные компоненты соответствующей тензорной плотности § h в четырехмерном мире обладают также нулевым весом. [16]

Правила преобразования базисных векторов Ln ( Группа РгаЗга. [17]

Теперь в нашем распоряжении имеются все правила преобразования, необходимые для инвариантного разложения материальных тензоров в терминах кристаллохимическои симметрии для ОМС, рассмотренных в гл. [18]

Пространственная фигура анизотропии модуля упругости древесины, изображенная на рис. 1.1, описывается формулами преобразования компонент материального тензора четвертого ранга при повороте координатных осей. Формулы соответствуют линейным законам, содержащим произведения четырех направляющих косинусов. [19]

Логарифмический декремент затухания колебаний описывается, как показано в работе [4], для ортотропных материалов при помощи материального тензора четвертого ранга. [20]

Граничные условия в пространственной бесконечности, которые нужно ввести для полного определения тензора gik по заданным положениям и скоростям масс или, вообще - по материальному тензору энергии Tik, выделяют определенную систему Ко из всех других. При рассмотрении вопроса об относительности центробежной силы ( см. § 60) эта трудность дала себя знать особенно сильно. Хотя подобное выделение некоторых систем координат с помощью граничных условий, вообще говоря, несовместимо логически с постулатом общековариантности, однако противоречит духу релятивистской теории и должно рассматриваться как большой теоретико-познавательный недостаток. Эйнштейн [262] поразительно осветил его с помощью мысленного эксперимента с двумя жидкими шарами, вращающимися относительно друг друга вокруг соединяющей их линии. Этот недостаток остается не только в классической механике и в специальной теории относительности, но и в развитой выше, базирующейся на уравнениях ( 401) теории тяготения. Он будет устранен лишь тогда, когда граничные условия будут сформулированы в общековариантной форме. [21]

При преобразованиях тензоров под действием операций симметрии следует руководствоваться следующими простыми правилами. Каждый материальный тензор преобразуется в соответствии с правилами преобразования тех величин, которые он связывает, а именно как их произведение. [22]

Величины aik и olm в формуле (3.6) являются компонентами тензора напряжений - полевого тензора второго ранга. Величины aikim в формуле (3.6) являются компонентами материального тензора четвертого ранга - тензора прочности. [23]

Одним из самых распространенных методов определения эффективных характеристик среды является метод теории случайных функций. В качестве модели, адекватной широкому классу композиционных материалов, является представление материальных тензоров как случайных макрооднородных полей. В этом методе тензор модулей упругости считается случайной функцией, представимой в виде суммы статистически среднего тензора модулей упругости и тензора, описывающего флуктуационные добавки. Принимается гипотеза эргодичности: среднее по объему совпадает со средним статистическим. [24]

Нетер), приводит к определенным запретам и закономерностям в явлениях, разыгрывающихся в этих кристаллах, к вполне определенной симметрии материальных тензоров, описывающих эти явления. [25]

Обратимся теперь к магнетикам, кристаллохимическая симметрия которых нарушена из-за магнитного упорядочения и точная симметрия есть симметрия магнитная. Как уже указывалось, если мы рассматриваем магнитную структуру с определенной ОМС и известным ориентационным состоянием, то для нахождения вида материальных тензоров достаточно знать точечную магнитную группу. [26]

Принцип Кюри-Неймана позволяет выяснить возможность существования и других физических свойств в кристаллах, относящихся к разным классам симметрии. Отметим при этом, что если члены в термодинамическом потенциале, описывающие дан - Нов свойство, являются четной функцией компонент магнитного Вектора, М или L, то соответствующий материальный тензор представляет собой так называемый i-тензор, который не изменяет анак при операции R. В связи с этим для выяснения возможности существования такого тензора в кристалле достаточно пользоваться не магнитными классами симметрии, а 32-мя обычными кристаллографическими классами. [27]

До сих пор рассматривались правила преобразования векторов и тензоров относительно элементов точечной группы симметрии. Если бы мы имели дело только с ситуацией, когда именно пространственная группа, соответствующая этой точечной группе, определяла истинную ( полную) симметрию кристалла, то указанных правил было бы достаточно для симметрийного рассмотрения макроскопических материальных тензоров и материальных уравнений. Так обстоит дело в парамагнитной области, где истинная симметрия описывается кристалл охимической пространственной группой Gpl, и макроскопические свойства определяются соответствующей ей точечной группой. Аналогично для магнетиков истинная симметрия описывается магнитной пространственной ( шубниковской) группой. И если рассматриваются свойства именно для той ОМС и ориентационного состояния, которые соответствуют этой группе ( без ее изменений в процессе измерения), то снова достаточно учесть лишь точечную, в этом случае магнитную симметрию. [28]

Характеристики упругости анизотропных сред являются компонентами материального тензора четвертого ранга в трехмерном пространстве. Их преобразование при повороте осей координат происходит путем суммирования произведений, содержащих множителями по четыре косинуса углов поворота осей. Число компонент материального тензора зависит от симметрии среды ( расчетной схемы анизотропии материала), а величина компонент непосредственно характеризует упругие свойства материала. [29]

Для характеристик упругих свойств анизотропных тел четвертый ранг тензора выводится теоретически, исходя из допущения о существовании упругого потенциала. Описание характеристик прочности анизотропных тел при помощи аналогичного тензора четвертого ранга основывается на тензорно-полиномиальном критерии прочности четвертой степени. Для количественного описания реономных свойств анизотропных тел также применимы материальные тензоры четвертого ранга. Логарифмические декременты затухания колебаний анизотропных материалов приближенно могут быть представлены тоже в виде тензора четвертого ранга [ 4, гл. [30]

Страницы: 1 2 3