Cтраница 2
Таким образом, трансформационные свойства векторов электрического и магнитного полей Е и В определяются преобразованиями Лоренца ковариантпого антисимметричного тензора второго ранга. [16]
Показанная здесь связь между тензором вращения и вектором угловых скоростей вращения тела справедлива в общем случае: каждому антисимметричному тензору второго ранга может быть поставлен в соответствие так называемый сопряженный ( или осевой) вектор. [17]
Итак, в четырехмерном пространстве электромагнитное поле описывается не посредством двух векторов ( Е и В), а с помощью одного антисимметричного тензора второго ранга. [18]
Итак, в четырехмерном пространстве электромагнитное поле описывается ни посредством двух векторов ( Е и В), а с помощью одного антисимметричного тензора второго ранга. [19]
Левая часть уравнения (7.3.6) представляют собою тензор четвертого ранга, но этот тензор обладает высокой степенью симметрии и он эквивалентен симметричному тензору второго ранга, подобно тому как антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. [20]
Я сказал по случайности потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть различных ненулевых членов, и его, разумеется, нельзя заменить вектором, у которого компонент только четыре. [21]
В псевдоевклидовом пространстве, однако, тензор Fik содержит лишний множитель i. Поэтому самодуальный ( антисамодуальный) антисимметричный тензор второго ранга будет иметь лишь три существенные компоненты, но три комплексные ( и будет соответствовать одному комплексному 3-вектору - в нашем случае вектору Н Т ( Е), так что число существенных вещественных компонент не изменится. [22]
Легко убедиться, что сферическая часть антисимметричного тензора равна нулю, так как линейный его инвариант равен нулю. Отсюда следует, что всякий антисимметричный тензор второго ранга дает пример девиатора. [23]
Электромагнитное поле определяется так называемым антисимметричным тензором второго ранга. Поясним это следующим образом. Движущаяся с определенной скоростью заряженная частица, попадая в произвольное электромагнитное поле, получает ускорение, которое может быть, например, измерено в опыте. [24]
Интеграл по поверхности ( двумерной) в 4-пространстве. Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга dfik - dxfdx k - dxkdx l t его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости. [25]
Поэтому различие между полярным вектором и псевдовектором можно определить следующим образом: полярный вектор не изменяется при переходе от правой системы координат к левой, псевдовектор же при таком переходе изменяет направление на обратное. В Приложении X будет показано, что псевдовектор представляет собой антисимметричный тензор второго ранга. [26]
Аналогичным путем нетрудно найти и другие дираковские матрицы-операторы, приводящие к квадратичным формам типа фи ллл ф обладающим различными тензорными свойствами. Тогда величина фи ф должна быть вектором ( псевдовектором), а величина фи ф - антисимметричным тензором второго ранга. [27]
Остается продольная компонента электрического поля Ех iFu, для которой оба значка 1 и 4 преобразуются. Преобразование можно в данном случае рассматривать как поворот в двумерном пространстве с координатами х и 4 - Тогда Fu есть антисимметричный тензор второго ранга в двумерном пространстве. Но в § 1 1 было показано, что полностью антисимметричный тензор, ранг которого равен числу измерений пространства, инвариантен относительно поворотов. То, что было сказано о пространстве трех измерений, буквально переносится на любое число измерений, в частности на два. Разумеется, это можно показать и прямым вычислением по общим формулам преобразования тензора. [28]
Различные магнитооптические эффекты должны быть связаны между собой, поскольку они имеют единое происхождение, обусловлены наличием кругового или линейного двупреломления света, причем линейное двупреломление должно также обязательно появляться, как эффект второго порядка при рассмотрении кругового двупреломления. В простейшем случае изотропной среды или кубического кристалла тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, описывающие гиротропные свойства среды, представляют собой антисимметричные тензоры второго ранга с одной комплексной недиагональной компонентой. [29]
Интеграл по поверхности ( двумерной) в 4-пространстве. Как известно, в трехмерном пространстве проекции площади параллелограмма, построенного на двух векторах dr и dr, на координатные плоскости хах / з равны dxadxfo - dxpdx - Аналогично в 4-пространстве бесконечно малый элемент поверхности определяется антисимметричным тензором второго ранга df dxldxlk - dxkdxll его компоненты равны проекциям площади элемента на координатные плоскости. [30]