Cтраница 3
Строго говоря, вместо этих спектральных функций следует определять спектральные тензоры Fij ( k) и О - ( &), являющиеся разложением в интеграл Фурье соответствующих компонент корреляционных тензоров, однако для наших целей достаточно и более удобно первое определение. Дело в том, что при первом определении мы неявно предполагаем изотропность и однородность турбулентности, однако именно эта неявность и позволит нам записать соответствующие уравнения без ссылки на однородность и изотропность и тем самым получить теорию, хотя бы качественно пригодную и для неоднородной и неизотропной турбулентности. Важно и то обстоятельство, что в спектральном методе исходные уравнения постулируются непосредственно, а не выводятся из уравнений гидродинамики. Это позволит нам учесть и некоторые эффекты, связанные с образованием разрывов. [31]
Кельвина-Сомильяны для однородной среды сравнения, когда при вычислении бинарных корреляционых тензоров деформаций удерживаются только члены бесконечного ряда, содержащие моментные функции упругих свойств с порядком не выше второго. Однако при вычислении бинарных корреляционных тензоров напряжений в условных моментов, характеризующих средние значения и дисперсии полей деформаций и напряжений в компонентах композитов, учитываются все слагаемые, в том числе и содержащие моментные функции упругих свойств третьего, четвертого и пятого порядков. Отличительная особенность решения заключается в том, что многоточечное приближение построено путем вычисления интегралов задачи по всей области статистической зависимости случайного поля упругих свойств с учетом явного вида моментных функций. [32]
В уравнении ( 4.2 1) для среднего магнитного поля - статистичео кого момента первого порядка - появляется корреляционный тензор второго порядка, т.е. статистический момент второго порядка. В уравнении (4.22) для корреляционного тензора Ртп появляется корреляционный тензор третьего порядка, т.е. статистический момент третьего порядка. [33]
Оценивая координатную зависимость корреляционных тензоров, следует подчеркнуть, что при г О часть их компонент должна обращаться в нуль. Так, для изотропной среды корреляционный тензор второго ранга описывается двумя независимыми компонентами, а четвертого - пятью, а при г 0 тензор второго ранга имеет одну, а четвертого - две независимые компоненты. В первом случае при г О обращается в нуль одна компонента, а во втором - три. [34]
Величины Q / ( г) характеризуют статистическую взаимосвязь значений различных компонент пульсационных скоростей в двух выбранных точках потока. Отметим, что в известном смысле корреляционный тензор Qii ( r) играет при исследовании турбулентных пульсаций ту же роль, что и поле и ( г, т) при изучении осредненной составляющей поля скорости. [35]
В уравнении ( 4.2 1) для среднего магнитного поля - статистичео кого момента первого порядка - появляется корреляционный тензор второго порядка, т.е. статистический момент второго порядка. В уравнении (4.22) для корреляционного тензора Ртп появляется корреляционный тензор третьего порядка, т.е. статистический момент третьего порядка. [36]
Ниже приведены результаты решения стохастической краевой задачи с учетом реального вида моментных функций упругих свойств двухфазных композитов. Построено полное корреляционное приближение задачи в перемещениях, когда при вычислении бинарных корреляционных тензоров деформаций удерживаются только члены бесконечного ряда, содержащие моментные функции упругих свойств с порядком не выше второго. [37]
Переход от спектральной функции к корреляционной ( или от спектрального тензора к корреляционному) совершается при помощи прямого и обратного преобразований Фурье. К сожалению, чтобы провести такое вычисление в явном виде до конца, приходится налагать на компоненты корреляционного тензора некоторые ограничения, например, потребовать, чтобы divtf 0, а это, как мы увидим позже, затрудняет непосредственное применение этого преобразования в случае газомагнитной турбулентности. [38]
Однако, учитывая, что тензор, связывающий корреляционные тензоры четвертого ранга, должен иметь восьмой ранг, ниже рассматривается простейший случай - связь между свертками этих тензоров при объемной макродеформации. [39]
Изложенные выше наблюдательные данные го ворят о том, что межпланетное магнитное поле имеет в значительной степени стохастический характер, в нем на фоне плавно изменяющейся крупномасштабной составляющей существует ансамбль случайных неоднородностей более мелких масштабов различного происхождения. Для описания случайного поля удобно использовать спектральный подход - ввести систему корреляционных тензоров разных рангов и их гармоники Фурье по координатам и времени - спектральные функции. [40]
Здесь черта над величиной означает усреднение ( конкретный характер которого в данном случае несуществен), 6м ( г, т) - пульса-ционная составляющая поля скорости, описывающая флуктуации значений скорости в различных точках потока. В интенсивных ( турбулентных) гидродинамических режимах эти флуктуации, как правило, весьма велики и играют основную роль в формировании структуры потока. В связи с этим при изучении турбулентных течений большую роль играют так называемые корреляционные тензоры Qij ( r) флуктуации скорости, которые определяются следующим образом [ ср. [41]
Построение адекватных моделей прогнозирования прочностных свойств пористых сред сдерживается отсутствием решений ряда прикладных задач микромеханики композитов. К числу таких задач относится и задача о концентрации микронапряжений в матрице среды с учетом реальной структуры при произвольно заданном на макроуровне сложном напряженном или деформированном состоянии. Несомненный научный и практический интерес представляют оценки случайных полей деформирования, позволяющие рассчитать средние и бинарные корреляционные тензоры микронапряжений и микродеформаций в матрице пористых сред. [42]
Теперь обратим внимание на векторные поля, а точнее, на флуктуирующие электромагнитные поля. Начнем с анализа хорошо известного явления, которое свидетельствует о наличии корреляций второго порядка электромагнитных полей, а именно частичной поляризации. Их естественным обобщением являются корреляционные матрицы размерности 3x3, которые связаны с набором корреляционных тензоров второго ранга. [43]
Крейкнан [35, 36], обсуждая вопрос о построении формальной дедуктивной теории, отметил недостаточность существующих статистических приближений для эффективного решения обшей задачи при больших магнитных числах Рейнольдса. По всей видимости, турбулентная диффузия крупномасштабных магнитных полей зависит от тонких деталей движения жидкости, которые выходят за рамки общепринятой гидродинамики. В этом смысле замкнутым можно считать лишь квазилинейное приближение, в котором среднее поле удовлетворяет уравнению диффузии с коэффициентом диффузии, зависящим только от двухточечного корреляционного тензора поля скоростей, известного из обычной теории гидродинамической турбулентности, Но этот метод применим только при малых магнитных числах Рейнольдса, когда турбулентный вклад в диффузию мал по сравнению с омическим. [44]
Если рассматриваемые точки расположены как угодно близко одна от другой, то в области между ними турбулентность можно приближенно считать обладающей свойствами однородности. Иными словами, для двухточечных корреляций, входящих в указанные выше функции, могут быть использованы свойства инвариантности при любом поступательном перемещении прямой, соединяющей две точки. Эти свойства позволяют непосредственно определить ряд неизвестных величин, включающих двухточечные корреляции. Однако и при этом остается ряд неизвестных членов, для определения которых знания свойств инвариантности недостаточно; эти члены могут быть определены только в случае, если известны выражения однородных корреляций в виде функций координаты xk и соответствующих одноточечных корреляций. Разумеется, здесь речь может идти лишь о приближенных выражениях двухточечных корреляций. Приближенные выражения однородных корреляционных тензоров получены из условий удовлетворения минимально необходимому ( в рамках рассматриваемых уравнений) числу естественных условий. Такими условиями являются, в частности, условия несжимаемости, совпадения при изотропии с соответствующими изотропными корреляциями и совпадения кривизны двухточечных корреляций в точке х - 0 при условии изотропии с кривизной соответствующих изотропных корреляций в этой точке. [45]