Cтраница 3
Выше в седьмой главе было доказано, что линейному преобразованию А соответствует смешанный тензор А. В пространстве без метрики верхний и нижний индексы тензора никак не связаны между собой. Сейчас мы рассматриваем пространство с квадратичной метрикой и можем поднимать и опускать индексы любого тензора согласно § 9 восьмой главы. Операции подъема и спуска индексов неоднократно используются ниже. [31]
Определения (33.3) и (33.4) могут быть распространены, очевидным образом, и на смешанные тензоры. [32]
Если плотность тела Q в недеформированном состоянии S постоянна и если все компоненты смешанного тензора Cri постоянны всюду в S, то можно сказать, что тело является однородным. [33]
Нетрудно видеть, что такое преобразование таблицы совпадает с указанным выше преобразованием для смешанного тензора второго ранга. [34]
Нетрудно видеть, что такое преобразование таблицы В совпадает с указанным выше преобразованием для смешанного тензора второго ранга. [35]
Как мы видели, в произведении двух или нескольких тензоров и вообще во всяком смешанном тензоре можно сделать одинаковыми попарно контра - и ковариантные значки и тем самым понизить ранг тензора. Такая операция носит название сокращения или свертывания тензора по паре значков. [36]
Этим доказано, что второе слагаемое в правой части равенства ( а) также является компонентой смешанного тензора второго ранга. [37]
Если ограничиться рассмотрением ортонормированных базисов В Б3, то AJ-Bj, так что разница между ковариант-ными, контравариантныии и смешанными тензорами данной валентности исчезает. [38]
J и kA - контравариантный и ковариантный тензоры 2-го ранга, то их внутреннее произведение (2.5), очевидно, является смешанным тензором 2-го ранга. [39]
Рассмотренный пример иллюстрирует часто применяемую операцию, которая состоит в образовании произведения двух тензоров ( не являющихся одновременно контравариантными или ковариантными) и последующего свертывания полученного смешанного тензора по одной или нескольким парам индексов. [40]
То, что свертывание двух тензоров (37.30) и (37.31) дает один и тот же результат, вполне понятно, поскольку скаляр Т зависит только от симметричной части тензора 7, а для симметричного ковариант-ного тензора обе формы смешанного тензора совпадают. [41]
Определим теперь смешанный тензор. [42]
Симметрия или косая симметрия формы от ковариант-ных аргументов и соответственно контравариантного тензора определяется в полной аналогии с предыдущим. В случае смешанного тензора свойства симметрии или косой симметрии могут иметь место для нижних индексов или для верхних индексов. Но для пары индексов, из которых один нижний, другой верхний, эти свойства не инвариантны. [43]
Переходим к рассмотрению последнего действия тензорной алгебры - действию свертывания. Действие свертывания распространяется лишь на смешанные тензоры. [44]
Имеются, конечно, смешанные тензоры с произвольным числом индексов ковариантного и произвольным числом индексов контра-вариантного характера. Ковариантный и контравариантный тензоры можно рассматривать как частные случаи смешанного тензора. [45]