Cтраница 2
Мы убедились, что условия теоремы Арцела необходимы; докажем теперь их достаточность. [16]
Сформулируем теперь один из вариантов теоремы Арцела ( его можно доказать при помощи стандартных рассуждений ( см. Манкрс ( 1975, разд. [17]
Достаточность условий теоремы доказана в теореме Арцела - Асколи. Необходимость условия ограниченности функций / ( л:) из А одним числом вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа, ибо ограниченность множества А, вытекающая согласно этой теореме из его компактности, и означает, что функции, входящие в Л, ограничены одним числом. Остается установить необходимость условия равностепенной непрерывности. Допустим, что это условие не выполнено. [18]
Из оценок (2.16), (2.17), (2.21) и теоремы Арцела [36] следует утверждение леммы. [19]
С помощью введенной здесь терминологии можно следующим образом сформулировать теорему Арцела: если последовательность / Ы С ( [ а, Ь ]) ограничена по метрике и равностепенно непрерывна на [ а, Ь ], то из нее можно выбрать сходящуюся по метрике подпоследовательность. [20]
Для его подмножеств важный и часто используемый критерий предкомпактности доставляет так называемая теорема Арцела. [21]
Для пространства непрерывных функций с топологией равномерной сходимости условия компактности даются теоремой Арцела. Компактное множество непрерывных функций должно быть равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Поскольку непосредственно убедиться в компактности множества случайных траекторий бывает часто довольно затруднительно, приходится использовать достаточные критерии. [22]
В ( М) равностепенно непрерывно, и, следовательно, по теореме Арцела оно компактно. Поэтому оператор В вполне непрерывен. [23]
Утверждение ( ii) является следствием теоремы Морри ( теорема 7.17) и теоремы Арцела о равностепенно непрерывных семействах функций. [24]
Этот результат - важнейший инструмент в теории причинности общей теории относительности - является следствием теоремы Арцела ( теорема 2.17), к которой можно обратиться, так как непространственноподобные кривые локально удовлетворяют условию Липшица. [25]
Тем самым найдена подпоследовательность заданной последовательности, которая удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости, и теорема Арцела доказана. [26]
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.4. Теперь к последовательности [ М - 1 / М ] применима теорема Арцела, и мы получаем следующий результат. [27]
Классы Wr ( M S) являются компактами в пространстве C [ to tf ] в силу теоремы Арцела. [28]
Классы Wr ( M S -) являются компактами в пространстве C [ t0 tj ] в силу теоремы Арцела. [29]
Доказательство этой теоремы основывается на том, что для аналитических функций из равномерной их ограниченности внутри некоторой области вытекает равностепенная их непрерывность во всякой замкнутой подобласти, что позволяет применить теорему Арцела, после чего уже нетрудно получить теорему Монтеля. [30]