Cтраница 3
В самом деле, так как последовательность ( gn ( x) f n ( x) равностепенно непрерывна и равномерно ограничена на [ a, ft ], то по теореме Арцела из нее можно выбрать равномерно сходящуюся на [ a, ft ] подпоследовательность. Пусть [ gkn ( x) g ( x) на [ a, ft ] - одна из таких подпоследовательностей, a ( fk ( x) - f ( x) - соответствующая ей последовательность первообразных. [31]
О, Т ] следует из анализа доказательства теоремы Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения ( см., например, К о д д и и г т о н и Л е в и н с о н [1 ]), а сходимость вытекает из теоремы Арцела о компактности множеств в С0т, если учесть, что решение уравнения (1.2) единственно. [32]
Непосредственным следствием оценки (2.32) является равностепенная непрерьюность на компактных подмножествах рассматриваемой области производных любого ограниченного множества гармонических функций. По теореме Арцела из этого следует, что любое ограниченное множество гармонических функций является нормальным семейством. [33]
Согласно теореме Арцела - Асколи ( см. § 24), нужно проверить, что множество М равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. [34]
Так будет, например, если Uj имеют внутри С на достаточно гладких поверхностях только такие особенности, как и па поверхности цилиндра С, или если эти особенности будут регулярно затухать внутри. Тогда но теореме Арцела можно выбрать такую бесконечную последовательность значений е, сходящуюся к 0, что в ограниченной области G около начала координат в пространстве ( (, х, у, z) функции и вместе со всеми их частными производными по t, x, у, z до ( п - 1) - го порядка включительно будут равномерно сходиться к некоторым предельным функциям и и их соответствующим производным. [35]
Таким образом, множество Л непрерывных в Q функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Следовательно, по теореме Арцела оно компактно. [36]
Полученные неравенства убеждают нас в том, что функции множества М равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Далее остается воспользоваться теоремой Арцела. [37]
Второе слагаемое правой части стремится к нулю равномерно в [ а, Ь ], первое слагаемое в силу ( 115) и леммы [16] дает последовательность равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Мы можем в силу теоремы Арцела считать, что первое слагаемое при у - 0 стремится равномерно в [ а, Ь ] к предельной функции. Тем самым и левая часть должна стремиться равномерно в [ а, Ь ] к некоторой предельной функции q0 ( s), которая не есть тождественный нуль, так как в ( 116) достигается знак равенства. Я - характеристическое значение уравнения ( 1 1 1), что противоречит предположению. Итак, все функции pv ( s) при у, достаточно близких к нулю, ограничены по модулю одним и тем же числом. После этого из ( 110) и леммы [16] следует, что функции ер, ( s) равностепенно непрерывны. [38]
Второе слагаемое правой части стремится к нулю равномерно в В, первое слагаемое, в силу ( 123) и леммы 2, дает последовательность равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных функций. Мы можем, в силу теоремы Арцела, считать, что первое слагаемое при Тя - 0 стремится равномерно в В к предельной функции. [39]
Нетрудно показать, что семейство функции в2 г - ( ш, т) равномерно ограничено и равностепенно непрерывно по обеим переменным. Следовательно, семейство & z i ( о, т) удовлетворяет теореме Арцела [4], что равносильно доказательству равномерной сходимости на рассматриваемом интервале. [40]
Аналоги теоремы о выборе имеют место для многих классов функций. Особенно полезна следующая теорема, называемая обычно или теоремой Асколи, или теоремой Арцела. [41]
Из теоремы 17.7 и замечаний, предшествующих теореме 17.8, следует, что данная задача Дирихле разрешима, если только множество S замкнуто. Однако замкнутость S ( а также Е) непосредственно следует из ограниченности Е ( и условия ( iv)) по теореме Арцела - Асколи. [42]
Бора, Степанова и Безиковича полны; А. С. Ко-ванько [35] впервые показал, что пространство функций Вейля не полно: предел сходящейся ( в смысле метрики Вейля) последовательности функций этого класса может быть функцией Безиковича. Далее возникает вопрос об условиях компактности множества функций в одном из пространств почти периодических функций. К требованиям теоремы Арцела добавляется требование равностепенной почти периодичности. [43]
Две теоремы, которые вместе с теоремой Арцела приводят к критериям компактности. [44]