Cтраница 3
Решаем систему первых г уравнений относительно йервых Г неизвестных XfX2. Определитель этой системы отличен от нуля и поэтому по теореме Крамера система ( 13) имеет решение и притом единственное. [31]
Теорема Крамера дает возможность решить систему линейных уравнений в случае, когда число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы отличен от нуля. Если же нарушается хотя бы одно из этих условий, теорема Крамера неприменима. В то же время в задачах линейного программирования встречаются как раз такие системы, в которых эти условия нарушаются. Поэтому возникает потребность в математическом аппарате, позволяющем исследовать системы линейных уравнений самого общего вида. [32]
Теорема Крамера дает возможность решить систему линейных уравнений в случае, когда число уравнений равно чиелу. Если же нарушается хотя бы одно из этих условий, теорема Крамера неприменима. В то же время в задачах линейного программирования встречаются как раз такие системы, в которых эти условия нарушаются. [33]
Решение подобной задачи приводит к тому, что функционал (4.40) максимизируется нормальным распределением / ( у) с дисперсией Рг. В этом случае при независимом шуме п ( t) из теоремы Крамера 14.3 ] следует, что х ( t) и п ( t) должны подчиняться нормальным законам с дисперсиями ах и а соответственно. Следует заметить, что величина информационной характеристики не зависит от математических ожиданий. [34]
Прежде чем формулировать утверждения, которым по существу и посвящен настоящий параграф, нам необходимо доказать классическую теорему Крамера. Мы изложим как обобщение теоремы Крамера, принадлежащее Пойа ( называемое теоремой Крамера - Пойа), так и важный вклад в эту теорему В. [35]
В случае - спектральных ( плотностей невысокого порядка это условие обычно выполняется. При п2т едИ НКгшенньм, шснвидамому, способом решения задачи является общеизвестный, основанный на теореме Крамера. [36]
Число операций, требующихся для решения, зависит не только от порядка системы, но также от выбора метода вычислений. Предположим, что дана система п уравнений с п неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение. [37]
Кронекера - Ка-пелли) ранги основной и расширенной матриц системы совпадают. Как известно из линейной алгебры, этот общий ранг г не может превосходить числа п неизвестных. III, § 4, п 3, вывод 1) и находится, например, по теореме Крамера. Если же среди чисел x t имеется хотя бы одно отрицательное, то задача не имеет решения. В самом деле, оптимального решения не существует потому, что оно по самому определению должно быть неотрицательным, а единственное имеющееся решение таковым не является. [38]
Изложенное в настоящем параграфе применимо, разумеется, и к случаю, когда число уравнений в системе совпадает с числом неизвестных. Если А 0, то ранг матрицы из коэффициентов г равен числу неизвестных п, и поэтому система совместна при любых свободных членах ( см. замечание 1) и имеет единственное решение. Этот факт совпадает, как видим, с теоремой Крамера, которая только к этому случаю и применима. Мы видим, таким образом, что система п линейных уравнений с п неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы отличен от нуля. [39]
В ионах переходных металлов неспаренный электрон занимает d - орбитали, причем расщепление в поле лиган-дов его кристаллического окружения определяет, на какой именно из d - ор биталей он находится. Таким образом, состояние неспаренного электрона определяется симметрией окружения. Спин-орбитальное взаимодействие в этих случаях велико в самом ионе, а вклад от лигандных атомов пренебрежимо мал. Поле лигандов может быть существенно асимметричным, чтобы снять вырождение d - орбиталей почти полностью, хотя согласно теореме Крамера, в отсутствие внешнего магнитного поля электронные состояния любой молекулы, содержащей нечетное число электронов, по крайней мере дважды вырождены. При расчете - факторов не приходится вводить никаких новых принципов, но теперь нужно знать волновые функции df - орбиталей и расстояния между соответствующими энергетическими уровнями. [40]
Каждая случайная величина имеет характеристическую функцию, которая однозначно определяет функцию распределения этой величины. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Из этих свойств ясно, почему характеристические функции столь важны при решении проблем, связанных с композицией и факторизацией. С 1920 - х годов под сильным влиянием работ Дж. Лева характеристические функции очень часто применяются для решения проблем о композициях. С 1930 - х годов благодаря теоремам Крамера, Хинчина и Райкова возникает теория декомпозиции. [41]
Каждая случайная величина имеет характеристическую функцию, которая однозначно определяет функцию распределения этой величины. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Из этих свойств ясно, почему характеристические функции столь важны при решении проблем, связанных с композицией и факторизацией. С 1920 - х годов под сильным влиянием работ Дж. Леей характеристические функции очень часто применяются для решения проблем о композициях. С 1930 - х годов, благодаря теоремам Крамера, Хинчина и Райкова, возникает теория декомпозиции. [42]
Основные теоремы в классической теории вероятностей ( такие, как законы больших чисел, теоремы о предельном распределении) связаны с распределением суммы независимых случайных величин и опираются на свойства слагаемых этих сумм. Теорема Крамера, которая уже упоминалась, представляет собой именно такой результат о декомпозиции. Она утверждает, что все делители нормального распределения также нормальны. Как в теоремах о композиции, так и в теоремах о декомпозиции, важную техническую роль играют характеристические функции случайных величин. Каждая случайная величина имеет характеристическую функцию, которая однозначно определяет функцию распределения этой величины. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Из этих свойств ясно, почему характеристические функции столь важны при решении проблем, связанных с композицией и факторизацией. С 1920 - х годов под сильным влиянием работ Дж. Леей характеристические функции очень часто применяются для решения проблем о композициях. С 1930 - х годов благодаря теоремам Крамера, Хинчина и Райкова возникает теория декомпозиции. [43]