Cтраница 1
Теоремы Лиувилля для уравнения Лапласа были доказаны в § 3.9. Под теоремами Лиувилля обычно понимают утверждения о характере решения, определенного во всем пространстве или полупространстве и удовлетворяющего некоторым условиям на бесконечности. Теорема такого типа имеют место и для уравнения теплопроводности. [1]
Теорема Лиувилля для аналитических функций также распространяется на некоторые эллиптические уравнения второго порядка. [2]
Теорема Лиувилля в столь общей формулировке не может быть применима ко всем параболическим уравнениям; в этом случае приходится пользоваться ослабленной теоремой Лиувилля, где роль горизонтальной плоскости выполняют цилиндрические поверхности с горизонтальными образу ющими. [3]
Теорема Лиувилля, имеющая фундаментальное значение для статистической механики, гласит, что скорость изменения плотности числа систем ансамбля Р со временем вдоль линии тока равна нулю. Заметим, что простота окончательного результата зависит, как это видно из равенства (3.6), от выбора фазового пространства в виде комбинации конфигурационного пространства) и пространства импульсов. Именно в этом и заключается преимущество употребления координат и сопряженных импульсов, а не скоростей. Для некоторых частных задач и некоторых специальных систем координат комбинация пространства координат и пространства скоростей также дает простой результат; но в общем случае такая комбинация не является наиболее удобной. [4]
Теорема Лиувилля имеет важное значение в статистической механике и прежде всего потому, что уверенность в постоянстве фазового объема и в сохранении плотности дает возможность упростить многие расчеты. Поэтому рассмотрение объемного распределения систем представляется наиболее простой задачей. Такими объемно-распределенными ансамблями пользуется Гиббс при решении различных вопросов статистической механики. Заметим, что для поверхностного распределения систем теорема Лиувилля не оправдывается и анализ такого случая вызывает осложнения в расчетах. Кроме того, принципиальное значение выведенной теоремы состоит в том, что ею доказывается сделанное ранее предположение ( стр. [5]
Теорема Лиувилля явно или неявно используется во многих доказательствах классической статистической механики. Особую роль она играет в статистической теории неравновесных процессов. Рассмотрим некоторые важные следствия, получаемые непосредственно из теоремы Лиувилля. [6]
Теорема Лиувилля является непосредственным следствием динамических уравнений. [7]
Теорема Лиувилля позволяет добавить к закону сохранения энергии еще один закон сохранения. [8]
Теорема Лиувилля позволяет утверждать, что рассмотренная в предыдущем пункте задача Дирихле для полупространства х 0 в классе ограниченных функций не может иметь более одного решения. [9]
Теоремы Лиувилля и Фрагмена - ЛинделЗфа для эллиптических систем. [10]
Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый объем, занимаемый пучком частиц, остается неизменным при движении частиц в отсутствие диссипативных сил, хотя его положение и форма могут изменяться. [11]
Теорема Лиувилля справедлива как для равновесных, так и для неравновесных ансамблей. [12]
Теорема Лиувилля ( следствие 3.12) связана с геометрической теоремой Бернштейна о поверхностях неположительной кривизны ( см. [327]), которая утверждает, что целое решение и любого эллиптического уравнения аихх 2Ьиху си у у 0, удовлетворяющее условию и о ( г) при г - , должно быть постоянно. Примечательным при этом является тот факт, что от уравнения требуется только поточечная эллиптичность. При столь общем условии утверждение следствия 3.12, как показывает контрпример, не имеет места. Результат Бернштейна также основан на принципе максимума, однако рассуждения качественно другие и носят геометрический характер. [13]
Теорема Лиувилля охватывает практически все проинтегрированные на сегодняшний день задачи гамильтоновой механики. Но она ничего не говорит о том, как найти полный набор первых интегралов в инволюции. После открытия бесконечномерных интегрируемых гамильтоно-вых систем ( начиная с уравнения Кортевега де Фриза) было обнаружено много новых механизмов интегрирования. Все они связаны с дополнительными алгебро-геометрическими свойствами фактически проинтегрированных систем, никак не отраженными в теореме Лиувилля. [14]
Теорема Лиувилля верна уже в предположении ограниченности вещественной части рассматриваемой функции. [15]