Cтраница 2
Однако теорема Лиувилля в узком смысле не всегда верна. [16]
Относительно теоремы Лиувилля необходимо сделать одно замечание. Хотя фазовый объем, занимаемый мечеными фазовыми точками, остается постоянным в процессе динамической эволюции, форма этого объема меняется очень сложным образом из-за неустойчивости фазовых траекторий. Близкие точки быстро расходятся на большое расстояние, поэтому с течением времени область ДГо с гладкой границей превращается в область ДГ весьма причудливой формы, напоминающей мыльную пену. В связи с этим говорят, что статистический ансамбль обладает свойством перемешивания в фазовом пространстве. [17]
Из теоремы Лиувилля следует, кроме того, что In р есть интеграл движения. Этот интеграл движения является, следовательно, аддитивным. [18]
Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбинации переменных р, д, которые при движении подсистемы как замкнутой остаются постоянными. Это - так называемые механические инварианты или интегралы движения, являющиеся, как известно, первыми интегралами уравнений движения. Можно, следовательно, сказать, что функция распределения, являясь функцией механических инвариантов, сама есть интеграл движения. [19]
Из теоремы Лиувилля, справедливой также и для гамильтониана Н0 efflf следует, что отображение Те сохраняет площадь. [20]
Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N и V плотность распределения вероятностей р зависит только от интегралов движения. Чтобы получить формулу (III.39), необходимо предположить, что р зависит от одного интеграла движения - энергии. То, что среди интегралов движения особую роль отводят энергии, является естественным. [21]
Из теоремы Лиувилля вытекает весьма важное следствие. Действительно, в принципе соответствующим преобразованием пучка можно сделать его изображение на фазовой плоскости геометрически подобным сепаратрисе. При этом площадь изображения пучка, согласно теореме Лиувилля, остается неизменной. [22]
Из теоремы Лиувилля следует, что для равновесных систем при заданных N vi V плотность распределения вероятностей зависит только от интегралов движения. При записи выражения ( II 1.39) допускается зависимость р ( и соответственно р) только от одного интеграла движения - энергии. Выделение этого интеграла движения обусловливается следующими соображениями. [23]
Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей алгебры: всякий полипом, отличный от постоянной, имеет по крайней мере один пуль. [24]
Это теорема Лиувилля; она показывает, что в первое определение вероятности не входит время. Она приводит также к следующему важному заключению: если - в некоторый момент времени - точки, изображающие системы собрания, распределены равномерно в слое dE фазовой протяженности, то плотность останется постоянной навсегда. Это равномерное распределение нужно себе представлять, когда говорят о собраниях микроканонических или эргодических. [25]
Из теоремы Лиувилля следует, что интегралами движения являются величины рвг и рЕ, или, соответственно, fVys, и Pysz, к-рые наз, нормализованными эмиттансами. [26]
Из теоремы Лиувилля следует, что для полной интегрируемости гамильтоновой системы достаточно знать N интегралов движения. Совокупности всех комплектов / J соответствует семейство инвариантных торов. Торы являются инвариантными, т.к. их положение и форма в фазовом пространстве не меняются со временем. [27]
Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбинации переменных р, q, которые при движении подсистемы, как замкнутой, остаются постоянными. Это - так называемые механические инварианты или интегралы движения, являющиеся, как известно, первыми интегралами уравнений движения. [28]
Основой теоремы Лиувилля является естественная аффинная структура на слоях лагранжева расслоения симплектического многообразия. На слоях лежандрова расслоения контактного многообразия имеется естественная проективная структура. Странным образом, до сих пор никто, кажется, этого не сделал. [29]
Из теорем Лиувилля вытекает простой путь построения конкретных примеров трансцендентных чисел. [30]