Cтраница 2
Интересным является вопрос о нахождении других классов уравнений, отличных от упомянутых выше, для которых справедливы теоремы типа теоремы Бернштейна. [16]
Поэтому предположение, что континуум эквивалентен некоторому вполне упорядоченному множеству, было бы определенно ложным, если бы вообще верной была теорема Бернштейна. Однако, к сожалению, его доказательство содержит существенный пробел, так как для Кш и каждого из рассмотренных выше сингулярных вполне упорядоченных множеств предположение, что всякое счетное подмножество содержится в некотором отрезке целого множества, уже не имеет места. [17]
Упомянем работу [97], в которой автор показал ( используя идею Де Джорджи [20] редукции размерности и двумерные оценки кривизны [5]), что теорема Бернштейна обобщается на случай п 3 для вариационных уравнений типа уравнения минимальных поверхностей. [18]
Отметим, что требуемое обобщение теоремы Берса на случай п 7 тривиально вытекает из этого общего результата в силу того факта ( упомянутого при обсуждении теоремы Бернштейна), что в Rn, п 7, не существует нетривиальных минимизирующих площадь гиперконусов. [19]
Это я упоминаю прежде всего для того, чтобы явно взять обратно заключение, к которому я пришел в своем докладе на конгрессе в предположении справедливости теоремы Бернштейна. [20]
Теорема 4.8.7, по существу, доказана Сасом [1], хотя и не в такой общей формулировке; 4.8.8 является перенесением на общие разложения по ортогональным полиномам теоремы Бернштейна [2], доказанной им для рядов Фурье. В случае специальных разложений, в частности для рядов Фурье, можно вывести и другие теоремы об абсолютной сходимости. [21]
Конечно, если функция и определена на всей плоскости К2, мы можем устремить R к бесконечности; при этом получим УС - Х2 0, так что график и является плоскостью; таким образом, мы снова получили теорему Бернштейна. Однако и вне связи с теоремой Бернштейна оценка Хейнца дает важную информацию о природе минимальных графиков, а именно что они не могут слишком сильно искривляться на фиксированном расстоянии от граничного цилиндра. [22]
Если минимальная поверхность М в R3 является графиком функции, заданной на плоскости R2, мы можем заменить круг АЯ в теореме 3.1 на произвольный круг в R2, так что кривизна обращается в нуль тождественно; таким образом, теорема 3.1 является усиливает результат теоремы Бернштейна. [23]
Теорема Бернштейна н ее начальной форме относится к приближению периодических функций суммами Фейера. [24]
Указанные свойства гауссова отображения минимальных поверхностей тесно связаны с задачей о распределении значений мероморфных функций на комплексной плоскости С. Теорема Бернштейна связана с теоремой Лиувилля о целых функциях, теорема Хейнца напоминает классическую теорему Ландау, теорема Оссермана обнаруживает сходство с теоремой Казорати-Вейерштрасса, а результат автора весьма похож на классическую теорему Пикара о мероморфных функциях на С. [25]
Пусть TR, где сложение понимается в обычном смысле. Из рассматриваемой ниже теоремы Бернштейна следует, что всякая вполне монотонная функция на R бесконечно дифференцируема при t 0, хотя в точке t 0 она может быть разрывной и иметь простой скачок. [26]
Конечно, если функция и определена на всей плоскости К2, мы можем устремить R к бесконечности; при этом получим УС - Х2 0, так что график и является плоскостью; таким образом, мы снова получили теорему Бернштейна. Однако и вне связи с теоремой Бернштейна оценка Хейнца дает важную информацию о природе минимальных графиков, а именно что они не могут слишком сильно искривляться на фиксированном расстоянии от граничного цилиндра. [27]
Она синтезирует в абстрактной форме несколько теорем представления, полученных первоначально в классическом анализе методами, затемнявшими их общее происхождение. По-видимому, наиболее важными из этих теорем представления являются теорема Бохнера о положительно определенных функциях и теорема Бернштейна о вполне монотонных функциях. [28]
В частности, в работах Финна [31] и Саймона [99] было показано, что любое уравнение типа минимальных поверхностей обладает свойством Бернштейна. Поскольку график произвольного решения любого уравнения типа минимальных поверхностей удовлетворяет такому неравенству ( см. [99]), мы получаем теорему Бернштейна для любого уравнения типа минимальных поверхностей. [29]
Теорема Бернштейна вносит в этот вопрос некоторую ясность. Там, где у функции объекта имеются производные более высоких порядков, значения которых выходят из пределов, определяемых теоремой Бернштейна, неизбежно возникает заметная разность, поскольку производные от изображения не могут превысить эти пределы. [30]