Cтраница 3
Так как на экстремали - у выполняется условие Лежандра, то, используя (35.9) ( или теорему (28.9) из § 28 гл. Для этого указанные выше результаты следует просто дополнить теоремой Бореля о конечном покрытии. [31]
II, мы предположили, что ему известны такие понятия, как равномерная сходимость и граница области, а также теорема Бореля о покрытии. Вообще, при переходе от одной главы к другой уровень математической подготовки, необходимой для полного понимания излагаемой теории, может повыситься. Читатель, не достигший соответствующего уровня, не должен сдаваться: это обстоятельство должно стать дополнительным стимулом для приобретения недостающих ему знаний. [32]
Из обобщенной таким образом теоремы можно сразу получить свойство ( /) для функций, определенных при помощи уравнения ( 1), аналогично тому, как это делает Иверсен для функций, обратных мероморфным. В самом деле, достаточно заключить заданный путь в конечное число малых кругов Г, что можно осуществить в силу теоремы Бореля - Лебега. [33]
Найдем условие для того, чтобы множество A cz Rn было относительно компактным; по теореме Тихонова ( гл. I, § 9, теорема 3) для этого необходимо и достаточно, чтобы проекции Л на пространства-сомножители произведения R были относительно компактны; по теореме Бореля - Лебега ( гл. [34]
Ин имеем две спектральные последовательности. Нижняя строка во втором члене одной спектральной последовательности встъ / У Д, во втором члене другой последовательности - то, чему должно быть равно H ( BjZ &) по теореме Бореля. [35]
Как видно из формулы (1.17), свертка каждого члена ряда с АК осуществляет фурье-преобразование. Если формирование АК обусловлено двумя или несколькими факторами, то он сам является сверткой АК соответствующих дефектов. Согласно теореме Бореля, фурье-преобразование от свертки нескольких функций равно произведению фурье-образов этих функций. Следствием этой теоремы является то обстоятельство, что в формулах типа (1.18) ( АК при параболическом дефекте) или типа (1.77) ( случайный дефект изготовления зеркал), в которых соответствующий АК ИФП представлен в виде ряда Фурье, при добавлении новой причины, формирующей АК, под знаком суммы появляется новый сомножитель. Этот сомножитель есть коэффициент Фурье в разложении в ряд Фурье АК, обусловленный добавляемым нами фактором. [36]
T - j - 8, где 3 сколь угодно малая величина. Ясно, чт о мы уже не сможем пользоваться четырьмя концентрическими кругами. Однако для принципиальной стороны теорем Бореля - Каратеодори и Адамара наличие кругов но является решающим, и это препятствие может быть преодолено использованием подходящей системы вытянутых кривых. [37]
Группа Un удовлетворяет условиям теоремы. Диагональные унитарные матрицы образуют максимальный тор Тп группы Un. Группа Spn также удовлетворяет требованиям теоремы Бореля. Группа SOn не удовлетворяет требованиям теоремы Бореля, однако, если рассматривать в качестве кольца коэффициентов произвольное кольцо Л, содержащее 1 / 2, напр. Z / pli при нечетных р или Q, то видоизмененная таким образом теорема будет справедлива. [38]
Структурные функции порядка k определены тогда и только тогда, когда все структурные функции меньших порядков равны нулю. В супергравитации соответствующие условия ( а именно, насильственное зануление структурных функций меньших порядков) называется связями Весса - Зумино. Поэтому если нас по какой-то причине интересуют именно спенсеровские когомологий ( структурные функции порядка k), то мы их отсюда всегда можем извлечь. И, конечно, наоборот, посчитав Я 2 для всех k, мы сможем написать Я2 ( 0; ( 0 ь 0о)) - Но спенсеровские когомологий можно считать только по определению ( см. [ St ]), а для лиевских когомологий кроме определения есть пара теорем, облегчающих жизнь и позволяющих иногда получать ответы из некоторых общих соображений. Например, имеется теорема Бореля - Вейля - Ботта, которая говорит следующее. [39]
Не станем столь же детально описывать второе доказательство этой теоремы Лузиным [ 2, с. Практически все элементы цермеловости, отмеченные выше, налицо и здесь и даже делаются в некотором отношении еще очевиднее. Далее, если раньше теоремой Бореля он воспользовался мимоходом, то теперь она у него существенна. [40]
Группа Un удовлетворяет условиям теоремы. Диагональные унитарные матрицы образуют максимальный тор Тп группы Un. Группа Spn также удовлетворяет требованиям теоремы Бореля. Группа SOn не удовлетворяет требованиям теоремы Бореля, однако, если рассматривать в качестве кольца коэффициентов произвольное кольцо Л, содержащее 1 / 2, напр. Z / pli при нечетных р или Q, то видоизмененная таким образом теорема будет справедлива. [41]
Существование симплектической структуры - факт совершенно общий. В частности, коприсоединенные орбиты комплексной группы Ли Gc являются голоморфными сймплектическими многообразиями. Во многих случаях, как было показано в работе Крон-хаймера [ КЗ ], эти многообразия обладают естественной гиперкэ-леровой метрикой. Мы воспроизведем общую конструкцию для регулярной полупростой орбиты - орбиты вида GC / TC, где Gc - комплексная полупростая группа Ли и Тс - максимальный комплексный тор. Компактным аналогом этого многообразия является многообразие флагов G / T - тип орбиты, который выделяется в теореме Бореля - Вейля. [42]
Читателю предоставляется возможность самому попытаться модифицировать предположения и заключения. Как и в предыдущих параграфах, сам ход доказательства на деле гораздо важнее той конкретной ситуации, в которой мы его применяем. Это доказательство, в сущности, не очень трудное и даже не такое уж новое, если не считать двух-трех моментов. Искушенный читатель задолго до конца доказательства опознает знакомую схему рассуждений; они напоминают не только процесс аналитического продолжения, но даже некоторые стандартные рассуждения из анализа, такие, скажем, как доказательство теоремы Бореля о конечном покрытии для отрезка и плоской фигуры. Впрочем, стандартные доказательства постоянно находят все новые применения. [43]