Cтраница 1
Теорема Вейля - Минковского ( теорема 2.5) показывает, что всякий многогранник в определенной системе координат может быть задан с помощью системы, состоящей из конечного числа линейных неравенств. Это обстоятельство позволяет, с одной стороны, привлечь для изучения многогранников хорошо разработанный аппарат теории линейных неравенств, а с другой стороны, геометрическим свойствам многогранников придать алгебраическую интерпретацию. В данном параграфе рассматриваются способы задания многогранников с помощью различных систем линейных неравенств. [1]
Теорема Вейля, разумеется, играет решающую роль при изучении представлений полупростой алгебры Ли L. [2]
Теорема Вейля - Неймана показывает, что существенный спектр - единственная спектральная характеристика самосопряженного оператора, устойчивая относительно компактных возмущений, и что непрерывный и точечный спектры крайне неустойчивы. Это один из основных результатов теории волновых операторов, тесно связанный с квантовомеханич. [3]
Из теоремы Вейля - Минковского следует существование двух форм задания многогранника: первой - в виде выпуклой оболочки конечного множества его точек ( параметрическое представление); второй - как множество решений конечной системы неравенств ( аналитическое представление), причем минимальное множество точек, выпуклая оболочка которых есть многогранник М, совпадает с множеством его вершин, а неприводимая система неравенств, задающая многогранник, определяется гранями максимальной размерности. [4]
Ввиду теоремы Вейля о полной приводимости ведущую роль в конечномерном случае играют неприводимые модули. [5]
Из теоремы Вейля ( разд. [6]
Обобщение теоремы Вейля на нормальные операторы было обнаружено Бергом [4]; ср. [7]
Применяя теорему Вейля - фон Неймана можно показать, чтс операторы, имеющие большой 0 в качестве слагаемого в прямо) сумме, появляются не так уж редко. [8]
По теореме Вейля - фон Неймана (14.13) А D С0, где О - диагональный эрмитов оператор и С0 - оператор Гильберта - Шмидта. Так как 0 имеется в существенном спектре А, то 0 будет и в существенном спектре D, так что 0 будет предельной точкой последовательности собственных значений D. Найдем квадратично суммируемую бесконечную подпоследовательность таких собственных значений и пусть Ci - оператор, полученный из D заменой нсех собственных значений не из этой подпоследовательности нулем. Если С С0 С, то С - оператор Гильберта - Шмидта и оператор / 1 - С имеет большой 0 в качестве слагаемого в прямой сумме. [9]
Итак, теорема Вейля доказана. В частности, из нее сразу вытекает равномерность распределения точек ( пв) на [ О, 1 ], если 0 иррационально. [10]
Аналогом классической, теоремы Вейля является следующее утверждение: всякое представление полупростой алгебры Мальцева характеристики О вполне приводимо. [11]
Переходим к доказательству теоремы Вейля. [12]
Одно из доказательств теоремы Вейля возникает в алгебраическом контексте квазидиагональных операторов, которые получили значительное внимание. Чтобы пояснить это понятие, заметим, что определение диагональных операторов можно сформулировать таким образом: существует попарно ортогональная тотальная последовательность 1-мерных подпространств, каждое из которых инвариантно относительно оператора. Тотальная означает, что ее оболочка составляет все пространство. Бели 1 -мерный заменить на конечномерный, результатом будет определение блочно-диаго-нальных операторов. Эквивалентным образом, оператор блочно-диагонален, если его матрица по отношению к тотальной последовательности конечномерных подпространств диагональна. Здесь имеется очевидное и полезное обобщение: оператор блочно-треу-голен, если его матрица по отношению к последовательности того же сорта, что и выше, треугольна. [13]
Применяя к / теорему Вейля, получим следующее утверждение: средняя доля времени, которое фазовая траектория проводит в D, пропорциональна мере D. Этот факт характеризует свойство равномерного распределения траекторий на нерезонансных торах. Если тор резонансный, фазовые траектории заполняют торы меньшей размерности. [14]
Отметим, что Пупко [48] также доказывала теорему Вейля, однако в ее доказательстве имеются принципиальные ошибки, которые по существу приводят к неправильной теореме 2 в [48] об ограниченном отклонении. Маркли также содержит пробелы, но непринципиального характера. Маркли, это связано было с необходимостью ограничить объем статьи. В основном эти пробелы относятся к доказательству теоремы 1.4 ( см. ниже) об ограниченности отклонения кривой по крайней мере с одной стороны от соответствующей прямой на торе. Для цилиндра аналогичная теорема доказана в [ 2, теорема 6 ], и, следовательно, соответствующее утверждение справедливо для любой замкнутой поверхности неположительной эйлеровой характеристики, так как цилиндр можно вклеить в любую такую поверхность. [15]