Cтраница 3
Случай молекул - твердых сфер также изучен довольно подробно. Для него полезная информация получается из теоремы Вейля о возмущении спектра самосопряженного оператора V при добавлении достаточно регулярного интегрального оператора / С, так что получается оператор W V - f - К. Kgk ( сходимость понимается в подходящем функциональном пространстве, в данном случае в гильбертовом пространстве Ж, где норма дается формулой (1.9)), то непрерывные спектры W и V совпадают. Таким образом, влияние К сводится к изменению дискретного спектра. [31]
В этом случае пространство V называется лиевым А-модулем. Конечномерная алгебра Ли L над полем F характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда любой конечномерный ( лиев) L-модуль вполне приводим ( теорема Вейля - см. [17], с. Если L разрешима и F F, то всякий неприводимый конечномерный L-модуль одномерен ( [28], с. [32]
В этом случае пространство V называется лиевым А-модулем. Конечномерная алгебра Ли L над полем F характеристики 0 полупроста тогда и только тогда, когда любой конечномерный ( лиев) L-модуль вполне приводим ( теорема Вейля - см. [17], с. Если L разрешима и F - F, то всякий неприводимый конечномерный L-мо-дуль одномерен ( [28], с. [33]
В 1948 г. Минакшисундарам и Плейель [246] изучили при малых t асимптотику Tr [ exp ( - tLo) ] для лапласиана на функциях на компактном римановом многообразии ( см. следствие 12.59), обобщив тем самым теорему Вейля. [34]
Редуктивные алгебры - это такие алгебры, у которых производные алгебры полупросты; они изоморфны произведениям абелевых и полупростых алгебр. Важность их связана с тем, что алгебры Ли компактных групп всегда редуктивны, но не всегда полупросты; кроме того, алгебра Ли полной линейной группы - редуктивная, но не полупростая алгебра. Теорема Вейля отчасти обобщается на случай редуктивных алгебр Ли: представление редуктивной алгебры Ли полупросто тогда и только тогда, когда оно индуцирует полупростое представление центра алгебры. С другой стороны, для того чтобы алгебра Ли g над полем характеристики 0 была редуктивна, необходимо и достаточно, чтобы она обладала по меньшей мере одним точным полупростым представлением. Отметим существенную разницу между случаем алгебр Ли и случаем ассоциативных алгебр: в последнем всякая алгебра, допускающая точное полупростое представление, сама полупроста и, следовательно, все ее представления полупросты. [35]
Из теоремы Вейля следует, что все самосопряженные расширения симметрического оператора с конечными ( и равными) дефектными числами имеют одинаковые существенные спектры. Теорема Вейля переносится на случай относительно компактных возмущений ( оператор К наз. А, если он переводит всякое ограниченное множество с ограниченным / 1-образом в компактное), откуда следует совпадение существенных спектров всех самосопряженных расширений симметричных многомерных дпфференцпальнах операторов широкого класса. Теорема Вейля допускает обращение ( Дж. Neumann, 1935): если два самосопряженных оператора имеют одинаковые существенные спектры, то один из них унитарно эквивалентен возмущению другого компактным ( даже принадлежащим классу Гильберта - Шмидта) оператором, имеющим произвольно малую норму. Найдены обобщения этого результата на случай нормальных, существенно нормальных операторов, а также на представления некоммутативных С - алгебр. [36]
Отметим, что данной тематикой независимо стали заниматься в середине 60 - х годов на другом полушарии. В работе [80] были доказаны теорема Вейля, гипотеза Вейля и еще несколько близких к тематике теорем для поверхностей постоянной отрицательной кривизны. К сожалению, Н.Г. Маркли опубликовал только небольшую часть своих результатов [79], которые понадобились ему для изучения квазиминимальных множеств потоков на торе и бутылке Клейна. [37]
Основная трудность здесь заключается в том, что оператор L-fik l не самосопряженный. Это означает, что общих теорем о полноте собственных функций не существует. Кроме того, непросто провести качественный анализ спектра при помощи теоремы Вейля, когда L К - v и / С - компактный оператор. [38]
Так, например, верно, что каждый нормальный оператор на сепара-белыюм гильбертовом пространстве есть сумма диагонального и компактного операторов, и норма компактного слагаемого может быть сделана сколь угодно малой. Однако это является обобщением теоремы Вейля, а яе уточняющей ее теоремы фон Неймана; обобщается ли здесь также последняя - неизвестно. [39]
Из теоремы Вейля следует, что все самосопряженные расширения симметрического оператора с конечными ( и равными) дефектными числами имеют одинаковые существенные спектры. Теорема Вейля переносится на случай относительно компактных возмущений ( оператор К наз. А, если он переводит всякое ограниченное множество с ограниченным / 1-образом в компактное), откуда следует совпадение существенных спектров всех самосопряженных расширений симметричных многомерных дпфференцпальнах операторов широкого класса. Теорема Вейля допускает обращение ( Дж. Neumann, 1935): если два самосопряженных оператора имеют одинаковые существенные спектры, то один из них унитарно эквивалентен возмущению другого компактным ( даже принадлежащим классу Гильберта - Шмидта) оператором, имеющим произвольно малую норму. Найдены обобщения этого результата на случай нормальных, существенно нормальных операторов, а также на представления некоммутативных С - алгебр. [40]
В общем случае для тора теорему 2.1 доказали независимо Маркли [79] и Арансон [10] в 1969 г. Доказательство С.Х. Арансона более динамическое и использует взаимное расположение точек пересечения полутраектории / с замкнутой транс-версалью. С учетом этой теоремы достаточно доказать, что накрывающая полутраектория 7 уходит в бесконечность. Но это следует из нетривиальной рекуррентности /, поскольку в силу теоремы Пуанкаре-Бендиксона [60, 47] 7 не может лежать в компактном множестве. Если же 7 осциллирует, т.е. неограниченна на М, но пересекает фиксированное компактное множество при сколь угодно больших значениях времени, то аналогично доказательству теоремы 1.2 получаем противоречие. После доказательства того, что 7 уходит в бесконечность, остается применить теорему Вейля. [41]
Основной принцип - принцип не-ощущаемости границы в течение короткого промежутка времени - виден только тогда, когда мы смотрим на проблему с точки зрения уравнения диффузии. Если мы смотрим на эту проблему с точки зрения волнового уравнения, то тогда такой простой интерпретации нет. Приведенный выше принцип неощущаемости границы был неоднократно использован в подобных случаях. Здесь он может сказать нам нечто большее, а именно, что нам все равно, какое граничное условие мы наложим. Для каждого однородного граничного условия мы должны получить та же самое асимптотическое поведение. Это, очевидно, часть теоремы Вейля. [42]