Cтраница 1
Теорема Радона - Никодима была получена в абстрактной форме в 1930 г. Затем в 1933 г. Колмогоров дал строгие понятия условных вероятностей и условных математических ожиданий интегрируемых ел. [1]
Теорема Радона - Никодима справедлива в том случае, когда р представляет собой обобщенную меру. Пусть Х A JB - разложение в смысле Хана по отношению к JA; применить теорему Радона - Никодима отдельно к v и ( х на множестве А и к v и ц - на множестве В. [2]
Теорема Радона - Никодима справедлива и тогда, когда v не с-конечна, но в этом случае функция / может принимать бесконечные значения. [3]
Теорема Радона - Никодима, вообще говоря, неверна тогда, когда не вполне с-конечна, даже если при этом v конечна. Пусть X - какое-нибудь несчетное множество, aS - класс тех его подмножеств, которые либо сами конечны или счетны, либо имеют конечные или счетные дополнения. Для любого Е из S положим р ( Е) равным числу точек в множестве Е, a v ( Е) положим равным 0, если Е конечно или счетно, и равным 1, если Е несчетно. [4]
Теорема Радона - Никодима позволяет строго оформить эти пока еще довольно шаткие рассуждения. [5]
Теорема Радона - Никодима показывает, что все абсолютно непрерывные функции получаются таким способом. [6]
Теорема Радона - Никодима представляет собой, очевидно, естественное обобщение теоремы Лебега о том, что абсолютно непрерывная функция есть интеграл от своей производной. [7]
Теорема Радона - Никодима характеризует неопределенный интеграл вообще, а не при заданной подин-тегральной функции. Характеристика при этом дополнительном требовании дается следующим предложением. [8]
Теорему Радона - Никодима можно доказать иначе, восстановив функцию / по заданным множествам В ( t) ( см. упр. Основная трудность этого доказательства состоит в том, что отрицательные множества определяются не единственным образом. Трудность эту можно частично устранить, выбрав для всех t множества В ( t) так, чтобы значения JA ( В ( t)) были наименьшими. [9]
Тогда теорема Радона - Никодима может быть применена отдельно к каждому измеримому множеству, и роз-никает вопрос, нельзя ли задать на X функцию / так, чтобы она служила подинтегральной функцией в теореме Радона - Никодима сразу для всех измеримых множеств. Следующий уродливый пример показывает, что это, вообще говоря, невозможно. [10]
Согласно теореме Радона - Никодима, в силу ограниченности мер Vjj. [11]
В теореме Радона - Никодима можно ослабить требования, накладываемые на функцию v, и допустить, что она лишь о-конечна. Определение о-конечности для аддитивной функции множества со значениями любого знака формулируется так же, как и для меры ( см. IV. В этом случае определение абсолютной непрерывности функции v следует давать во второй форме, указанной в предыдущем параграфе. [12]
Условие (3.6) теоремы Радона - Никодима наводит на рассмотрение случая, прямо противоположного случаю абсолютно непрерывных распределений. [13]
В силу теоремы Радона - Никодима такая случайная величина г) ( со) существует и определяется из (1.1) однозначно с точностью до множеств Р - меры нуль. [14]
Абсолютная непрерывность и теорема Радона - - Нико-дима. [15]