Cтраница 3
E ( X 3ff)) t равно как н приводимое ниже эквивалентное определение, обосновывается теоремой Радона - Никодпма. [31]
Существование E ( Y S3) устанавливается способом, указанным в примере б), который использует теорему Радона - Никодима. [32]
Oxtoby) Меру в пространстве ( Xt S, ) можно подчинить условию, более слабому, чем полная с-конечность, и более сильному, чем с-конечность, при выполнении которого справедлива теорема Радона - Никодима. Это условие состоит в том, что пространство может быть представлено в виде соединения непересекающихся измеримых множеств конечной меры, образующих класс D, такой, что всякое измеримое множество может быть покрыто, с точностью до множества меры нуль, конечным или счетным числом множеств из D. [33]
Тогда теорема Радона - Никодима может быть применена отдельно к каждому измеримому множеству, и роз-никает вопрос, нельзя ли задать на X функцию / так, чтобы она служила подинтегральной функцией в теореме Радона - Никодима сразу для всех измеримых множеств. Следующий уродливый пример показывает, что это, вообще говоря, невозможно. [34]
Конструктивное определение становится сразу непригодным, как только данные т-поля перестают быть порожденными счетными разбиениями. Однако благодаря теореме Радона - Никодима можно применить дескриптивное определение. [35]
Таким образом, функция множеств ф, определенная на равенством р ( А) / ( / А), непрерывна, аддитивна и обращается в нуль на нулевых множествах, поэтому она а-аддитивна и Р - непрерывна. Тогда можно применить теорему Радона - Никодима, в силу которой по функции ф, определенной на, можно определить с точностью до эквивалентности такую ел. [36]
Условие (3.5) можно перефразировать следующим образам: [ / - нулевые множества являются также / - нулевыми множествами. Приведем одно важное следствие теоремы Радона - Никодима, которое, однако, нигде в дальнейшем непосредственно использоваться не будет. [37]
К 0, то эта функция является гладкой в любом направлении, ортогональном направлению вектора со. Поскольку всякая функция, по теореме Радона, может быть представлена в виде суммы плоских волн, ее особые направления в каждой точке могут быть определены как объединение направлений, особых для этих плоских волн. Приложения понятия волнового фронта к теории дифференциальных уравнений основываются на том факте, что волновой фронт распределения, являющегося решением уравнения с гладкой правой частью, содержит вместе с каждой своей точкой бихарактеристику главного символа соответствующего дифференциального оператора, проходящую через эту точку. [38]
Неопределенный интеграл от необязательно конечной измеримой функции X 0-аддитивен и - непрерывен, но необязательно а-конечен. Возникает вопрос, можно ли обобщить теорему Радона - Никодима на этот случай. Утвердительный ответ дает следующая теорема. [39]
Как и в дискретном случае, можно непосредственно показать, что если канал допускает схему со сколь угодно малой равномерно ограниченной ошибкой, то он является каналом без потерь. Для этого нам понадобится простое, но важное следствие из теоремы Радона - Никодима. [40]
Теорема Радона - Никодима справедлива в том случае, когда р представляет собой обобщенную меру. Пусть Х A JB - разложение в смысле Хана по отношению к JA; применить теорему Радона - Никодима отдельно к v и ( х на множестве А и к v и ц - на множестве В. [41]
Главной предпосылкой для непрерывного чтения книги является знакомство со стандартными фактами теории меры и теории операторов, которые рассматриваются во вводных курсах к этим предметам. Так, например, в теории меры читателю следует знать лемму Фату, теорему Лебега о мажорируемой сходимости, теорему Рисса - Фишера и теорему Радона - Никодима. [42]
Понятие условного распределения может быть выражено в терминах а-подполей событий. В этом элементарном случае не возникает никаких технических трудностей и возможны конструктивные методы изучения, связанные с определенными интуитивными представлениями. В общем случае нет подходящих конструктивных методов, и мы должны использовать дескриптивные методы, требующие гораздо более мощного аппарата, в частности теоремы Радона - Никодима. [43]
Абсолютная непрерывность и теорема Радона - Никодима. [44]
Основное содержание последующих глав составляют те разделы теории булевых алгебр, которые связаны с этими применениями; их систематическое изложение составляет вторую цель книги. Основу для этого изложения содержат главы III - VI, в которых сосредоточен главный аппарат. Здесь рассматриваются полные и а-пояные алгебры, изучаются различные топологии и непрерывные отображения. Устанавливается, в частности, единственность топологии, в некотором смысле разумно согласованной с имеющимся в данной алгебре порядком. Особое положение занимает § 3 третьей главы. Содержащиеся в нем утверждения ( принцип исчерпывания, теорема о нормальных ядрах) широко используются впоследствии. В этих же главах читатель может найти доказательства основных предложений теории меры таких, как теорема о продолжении меры и теорема Радона - - Никодима. [45]