Cтраница 2
Об этом теорема Римана ничего не говорит, и нет основании ожидать, что отображение конформно вплоть до границы. Однако для решения краевых задач методом конформных отображений существенно, чтобы отображение было непрерывно вплоть до границы. Это действительно имеет место для областей, ограниченных непрерывными кривыми, а на практике важны именно такие области. C), то последняя непрерывна вплоть до границы2 и отображает граничную кривую взаимно однозначно на единичную окружность. [16]
В силу теоремы Римана функция f ( z) существует, причем она отображает действительную ось Im2 0 на контур многоугольника Пп взаимно однозначно и непрерывно. [17]
Последнее утверждение теоремы Римана легко доказывается с помощью леммы Шварца. [18]
В силу теоремы Римана ряд ( 193) является сходящимся. [19]
Опираясь на теорему Римана и теорему о соответствии границ, можно доказать, что константы в интеграле ( 8) всегда можно подобрать так, что он будет давать отображение полуплоскости на любой наперед заданный многоугольник. [20]
V была сформулирована теорема Римана о существовании конформного отображения односвязной области на круг. [21]
Таким образом, теорема Римана показывает, что любую одно-связную область ( граница которой состоит более чем из двух точек) можно конформно отобразить на другую произвольную односвяз-ную область, хотя сама по себе теорема Римана и не указывает практического пути для осуществления этого отображения. [22]
Как известно ( теорема Римана), условно сходящийся ряд можно заставить сходиться к любой сумме или превратить в расходящийся, соответственным образом изменив порядок членов этого ряда. Он обнаружил существование таких перестановок, которые всякий сходящийся ряд оставляют сходящимся, но могут некоторый расходящийся ряд сделать сходящимся. [23]
Чтобы подчеркнуть общность теоремы Римана, покажем, что область G не может быть конформно отображена на внутренность единичного круга в двух случаях, а именно, когда G есть полная плоскость или плоскость с выключенной точкой. Рассмотрим функцию wf ( z), относительно которой мы допустим, что она дает взаимно однозначное и конформное отображение на внутренность единичного круга целой плоскости z или плоскости с выключенной точкой. Эту последнюю точку мы можем считать за бесконечно уда-ленную точку плоскости z, так как этого всегда возможно достигнуть путем линейного преобразования. Таким образом, согласно предложению Лиувилля ( гл. [24]
Чтобы подчеркнуть общность теоремы Римана, покажем, что область G не может быть конформно отображена на внутренность единичного круга в двух случаях, а именно, когда G есть полная плоскость или плоскость с выключенной точкой. Рассмотрим функцию w f ( z), относительно которой мы допустим, что она дает взаимно однозначное и конформное отображение на внутренность единичного круга целой плоскости г или плоскости с выключенной точкой. Эту последнюю точку мы можем считать за бесконечно удаленную точку плоскости г, так как этого всегда возможно достигнуть путем линейного преобразования. Таким образом, согласно предложению Лиу-вилля ( гл. [25]
Другой путь распространения теоремы Римана на многосвязные области состоит в том, что многосвязную область G превращают в односвязную, рассматривая ее не на плоскости, а на бесконечно-листной римановой поверхности FG. Эта поверхность, называемая универсальной поверхностью наложения области G или универсальной накрывающей, должна обладать следующими свойствами. [26]
В нашем доказательстве теоремы Римана - Роха по Вейлю было показано, что первое слагаемое справа конечно. [27]
Имеются эквивариантные аналоги теорем Римана - Роха, по крайней мере для автоморфизмов конечного порядка, взаимно простого с характеристикой. Формализм и использование деформации к нормальному расслоению совершенно аналогичны. Имеется аналогичная формула для эндоморфизма Фробе-ниуса в характеристике р ( ср. [28]
Поясним доказанную выше теорему Римана примером. [29]
Принцип Линделефа выводится из теоремы Римана о конформном изоморфизме областей и из леммы Шварца. Более тонкие построения позволяют находить поточечные отклонения отображающих функций, вызванные заданной деформацией отображаемых областей. [30]