Cтраница 2
Локальная часть этой теоремы следует непосредственно из теоремы Сарда. [16]
Следующее свойство множеств меры нуль - ключевое для нашего варианта теоремы Сарда. [17]
Поэтому, чтобы завершить доказательство теоремы 3.17, остается лишь применить к ГС теорему Сарда - Смейла. [18]
Этот результат можно обобщить на случай некомпактного X с помощью следующей леммы, легко вытекающей из теоремы Сарда. [19]
В общем случае, если окрестность U содержит и нерегулярные точки, подберем другую окрестность по теореме Сарда - С / о, которая уже состоит только из регулярных точек. Без ограничения общности можно считать, что обе окрестности, как U так и С / о диффеоморфны открытому диску. [20]
У) и потому каждое регулярное значение отображения /, содержащееся п EI / I, будет регулярным значением и отображения 7г - I Ьскольку, согласно теореме Сарда, в шаре ЕГ /, сущест-i уют регулярные значения отображения /, этим доказано, что отображение 7i: G - Ет обладает хотя бы одним регулярным значением. [21]
Другими словами, фредгольмово отображение локально эквивалентно сумме линейного отображения и нелинейного отображения с конечномерным образом. Теорема Сарда - Смейла получается из леммы 4.7 применением обычной теоремы Сарда к конечномерному отображению ср. В нашем случае ситуация значительно упрощается тем, что особые точки изолированы. [22]
Пусть L: Af-R - функция Ляпунова класса Ст для X. По теореме Сарда критические значения функции L образуют замкнутое, нигде не плотное подмножество отрезка. [23]
В дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений О.п. используется очень широко. Доказательства обычно проводятся с помощью теоремы Сарда или ее следствий - теорем Абрахама и Тома о трансверсальности ( см. [2], [3]), более удобных для непосредственного применения. [24]
Yn-i в Rm, возможно - разных размерностей. U имеет меру нуль, мы просто применяем теорему Сарда. [25]
Другими словами, фредгольмово отображение локально эквивалентно сумме линейного отображения и нелинейного отображения с конечномерным образом. Теорема Сарда - Смейла получается из леммы 4.7 применением обычной теоремы Сарда к конечномерному отображению ср. В нашем случае ситуация значительно упрощается тем, что особые точки изолированы. [26]
Определение 1 предполагает по крайней мере существование хотя бы одной регулярной точки. Для этого применим одну теорему из анализа, известную под именем теоремы Сарда. [27]
Большинство из них ( особенно в локальной теории бифуркаций [3]) доказывается с использованием редукции к теореме Сарда; неложительныо результаты, но связанные с такой редукцией, немногочисленны ( см. [6], [7], [9], [10], а также лит. [28]
В этом разделе мы хотим получить лемму, которая позволит нам доказывать результаты вида: большинство отображений /: X - Rm трансверсально к фиксированному многообразию Y с: Rm. Поскольку мы ввели понятие трансверсальности как обобщение понятия регулярного значения, можно догадаться, что ключевой ингредиент доказательства - теорема Сарда. Это действительно так, но прежде чем приступать к доказательству, заметим, что рассматриваемая нами ситуация немного отличается от ситуации теоремы Сарда. Там у нас было фиксировано отображение /: X - - Rm и мы доказывали, что большинство точек пространства Rm являются его регулярными значениями. [29]
Подчеркнем, что многообразия Л, М и Л / в предложении 3.3 необязательно компактны. Заметим также, что в предложении 3.3 и следствии 1 требуются отображения и подмногообразие класса С, потому что при доказательстве мы используем теорему Сарда. [30]