Теорема - сард
Cтраница 3
Поскольку V компактно, то / - собственное отображение, и множество регулярных значений / открыто. Таким образом, существует окрестность о / Ц точки у, состоящая только из регулярных точек /; o4t можно взять столь малой, что для у ( - & И Yy ( /) Yyi ( /) По соображениям, аналогичным соображениям Стинрода [4] об аппроксимации непрерывных сечений дифференцируемыми, можно счит тать, что гомотопия - между / и g дается С2 - отображением F: VX1B - M таким, что P ( xXty j ( x), P ( xX) - g ( x), где / е ( - е, 1 8) - По теореме Сарда в о / Ц можно найти точку у, которая будет регулярным значением /, g и Р одновременно. [31]
Стоит сравнить этот результат с теоремой Сарда. Всякое множество, определяемое непрерывными уравнениями, замкнуто, и всякое замкнутое множество может быть определено дифференцируемыми уравнениями. Теорема Сарда утверждает, однако, что для дифференцируемого отображения / большинство множеств вида f ( x) b не являются патологическими. [32]
Таким образом, мы ожидаем, что 0 будет регулярным значением, и, если q р, отсюда следует, что множество / - 1 ( 0) пусто. Итак, учитывая теорему Сарда, мы ожидаем, что система из q уравнений с р q неизвестными не имеет решений. [33]
В настоящем приложении дается определение множества меры нуль и доказывается относительно простой вариант теоремы Сарда. Этого слабого варианта достаточно, впрочем, для большинства приложений, рассмотренных в этой книге. В частности, он позволяет получить все центральные результаты гл. В этом и состоит притягательная черта того подхода, который мы здесь используем. [34]
В этом разделе мы хотим получить лемму, которая позволит нам доказывать результаты вида: большинство отображений /: X - Rm трансверсально к фиксированному многообразию Y с: Rm. Поскольку мы ввели понятие трансверсальности как обобщение понятия регулярного значения, можно догадаться, что ключевой ингредиент доказательства - теорема Сарда. Это действительно так, но прежде чем приступать к доказательству, заметим, что рассматриваемая нами ситуация немного отличается от ситуации теоремы Сарда. Там у нас было фиксировано отображение /: X - - Rm и мы доказывали, что большинство точек пространства Rm являются его регулярными значениями. [35]
JH является гладким пятимерным многообразием с конечным числом особых точек. Используемый нами подход отличается от подхода Дональдсона. Возмущение пространства модулей JH у Дональдсо-на не индуцировано возмущением метрики, и его более абстрактная постановка несколько упрощает его доказательство. Наши рассуждения немного сложнее, зато полученное нами возмущенное пространство модулей по-прежнему является пространством решений уравнений Янга - Миллса, только теперь для возмущенной метрики на базе. В обоих подходах для построения возмущений применяется теорема Сарда - Смейла. [36]
Бэровским множеством мы называем счетное пересечение плотных открытых множеств. Следовательно, по теореме 3.17 множество хороших метрик плотно; отдельное рассуждение показывает, что оно, кроме того, и открыто. Разумеется, JUV является многообразием тогда, когда ср - регулярное значение отображения ft: 32) / & - &. Поэтому причудливо сформулированная дифференциально-топологическая теорема 3.17 есть не что иное, как обычная теорема о неявной функции, но в бесконечномерном случае. Наши конструкции устроены так, что эта теорема непосредственно следует из теоремы Сарда - Смейла. [37]
 |
Золотой ключик. [38] |
Ключ, на который мы намекнули, - это идея трансверсальности. Главный технический результат, необходимый для того, чтобы реализовать такой подход, - это просто-напросто искусно замаскированный вариант теоремы Сарда. На таком пути вначале кое-что может показаться несколько сложным технически, но потом станут видны более простые и интуитивно более ясные аспекты. [39]
Страницы: 1 2 3