Cтраница 3
Для этого случая рассмотрим предельную форму разложения Карунена - Луева при Т - оо и покажем, что она приводит к теореме Винера - Хинчина. [31]
Для вычисления спектральной плотности взрывного шума находим произведение я ( /) л: ( / т) и затем усредняем его для получения автокорреляционной функции, по которой в свою очередь из теоремы Винера - Хинчина находим искомое спектральное распределение шума. [32]
Сейчас нас интересуют ковариация, автокорреляционная функция и спектральная плотность флуктуации заряда q ( t) Сначала вычисляют ковариацию, затем используют выражение (2.61) для определения автокорреляционной функции, а из нее получают спектральную плотность, используя теорему Винера - Хинчина. Эта процедура, в которой различие между функцией ковариации и автокорреляционной функцией не только подчеркивается, но и используется в вычислении спектральной плотности, применима к нестационарным процессам вообще. [33]
Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектральная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это соотношение носит название теоремы Винера - Хинчина. [34]
Тауберова теорема Винера изложена полностью; мы воспользовались прекрасным выводом Кореваара [1], основанным на теории распределений. Наша теорема 7.11 более общая, чем теорема Винера ХГ в его работе [1 ] ( для положительного случая), а классические тауберовы теоремы Харди - Литтлвуда и Карамата проще выводятся из теоремы 7.11, чем из теоремы Винера. [35]
Он выражает непосредственно спектр возбуждения флуктуации плотности, а их корреляции - через свой фурье-образ. Это соотношение между флуктуациями и корреляциями служит частным примером теоремы Винера - Хинчина в теории анализа Фурье. [36]
Следует заранее предположить, что интегрирование величины х 2 или xn) 2 по всей области значений t или по всей области значений / дает конечную величину. Следовательно, функциям х или хп), согласно теореме Винера - Хинчина из теории информации ( см., например, [3]), можно сопоставить некоторое эффективное конечное расстояние. Требование узости импульсов тогда должно означать, что ширины импульсов малы по сравнению с эталонным расстоянием для соответствующей функции. [37]
Из приведенных выше доводов видно, что предположение о стационарности в широком смысле не противоречит экспериментальным данным по исследованию 1 / / - шума. Достоинство данного допущения состоит в том, что при построении математических моделей можно в качестве основы использовать уже знакомую нам теорему Винера - Хинчина и другие родственные ей теоремы, которые справедливы для стационарных процессов. Но предположение о стационарности, по сути дела, отвергает всякую возможность признания того, что 1 / / - шум по своей природе - нестационарный сигнал. Оказывается, однако, что это не столь большая потеря, так как теоретические построения для представления нестационарного процесса, как правило, содержат физически не реализуемые признаки. [38]
Тауберова теорема Винера изложена полностью; мы воспользовались прекрасным выводом Кореваара [1], основанным на теории распределений. Наша теорема 7.11 более общая, чем теорема Винера ХГ в его работе [1 ] ( для положительного случая), а классические тауберовы теоремы Харди - Литтлвуда и Карамата проще выводятся из теоремы 7.11, чем из теоремы Винера. [39]
ГР Г2) или, fc ( i У и Я Л ( ГР гг) необходимо микроскопическое рассмотрение исследуемой системы и использование метода кинетических уравнений. Решение такой задачи, однако, упрощается в случае термодинамического равновесия и может быть выполнено без вывода и решения соответствующих кинетических уравнений. Такой подход к отысканию вида матрицы корреляций основывается на теореме Винера - Хинчина и флюктуа-ционно-диссипационной теореме. [40]
Математический анализ стохастических процессов имеет дела с вероятностными характеристиками во временном и частотном интервалах. Спектральный состав шумов в электронных компонентах важен для конструктора, так как часто цель его - минимизировать шумы в интересующей его конкретной области. Помимо среднего значения ( первый порядок), основными статистическими характеристиками, используемыми для описания шумового процесса, служат спектральная плотность, дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возможность определить меру времени корреляции, или память процесса. Обе эти характеристики - второго порядка и в случае статистически стационарного1) процесса однозначно связаны через теорему Винера - Хинчина. Для нестационарных процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расширенный вариант теоремы Винера - Хинчина выражает однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность двух статистически стационарных процессов. [41]
Основные понятия, на которых основано доказательство теоремы Винера в нашем изложении, связаны с гельфандовской теорией коммутативных нормированных колец, или В-алгебр, как мы их называем. Таким образом, гельфандовская теория дает общую процедуру определения того, имеет элемент обратный или нет, и, следовательно, включает теорему Винера в более общую теорию, объединяющую многие аналогичные явления. Чтобы применить эту процедуру к данной алгебре, достаточно дать удовлетворительное представление ее спектра и функций а ( Щ) на нем. [42]
Математический анализ стохастических процессов имеет дела с вероятностными характеристиками во временном и частотном интервалах. Спектральный состав шумов в электронных компонентах важен для конструктора, так как часто цель его - минимизировать шумы в интересующей его конкретной области. Помимо среднего значения ( первый порядок), основными статистическими характеристиками, используемыми для описания шумового процесса, служат спектральная плотность, дающая среднюю спектральную составляющую флуктуирующего сигнала, и автокорреляционная функция, которая дает возможность определить меру времени корреляции, или память процесса. Обе эти характеристики - второго порядка и в случае статистически стационарного1) процесса однозначно связаны через теорему Винера - Хинчина. Для нестационарных процессов можно получить обобщенный вид этой теоремы, а расширенный вариант теоремы Винера - Хинчина выражает однозначное соотношение, связывающее взаимную корреляционную функцию и взаимную спектральную плотность двух статистически стационарных процессов. [43]