Cтраница 2
Способность кошки, падающей с большой высоты лапками вверх, переворачиваться в воздухе во время падения и становиться на землю также может быть объяснена с точки зрения теоремы сохранения момента количеств движения. Внешняя сила - сила тяжести - не создает момента относительно центра тяжести. Быстро вращая хвостом, кошка поворачивает свое тело в противоположную сторону: момент количеств движения в относительном движении по отношению к центру тяжести остается при этом равным нулю, как и в начале падения. [16]
Чтобы найти связь между I /, p, Pl) TI и V2, Pz, р2, T2, воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Следует только выбрать контрольную поверхность, так, чтобы те ее части, па которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва. [17]
I для случая одномерного пространства, в котором дивергенция переходит в полный дифференциал, устанавливает существование Q первых интегралов, между которыми во всяком случае могут существовать нелинейные зависимости); в многомерном случае получаются уравнения дивергенции, которые теперь часто определяют как теоремы сохранения; теорема II говорит, что Q уравнений из общего числа уравнений Лагранжа являются следствием остальных. [18]
Если силы имеют потенциал, который зависит только от относительного расположения точек, то он не изменяется при вращении системы вокруг какой-либо оси координат; поэтому момент вращения сил относительно каждой оси координат равен нулю; если связи точек допускают вращение вокруг каждой оси координат, то теорема сохранения площадей имеет место для каждой координатной плоскости. Примером этого является наша планетная система. [19]
Все эти результаты можно проверить непосредственно, однако более глубокое их значение может быть понято, как уже упоминалось выше, только при переходе к общей теории относительности. Как теорема сохранения электрического заряда следует из калибровочной инвариантности уравнений, так и теоремы сохранения импульса-энергии следуют из того обстоятельства, что интеграл действия, сформированный в соответствии с общей теорией относительности, инвариантен относительно произвольного ( инфинитезимального) преобразования координат. Руководствуясь этой общерелятивистской формулировкой, мы далее должны в каждой точке Р пространства-времени построить нормальную систему координатных осей, состоящую из четырех взаимно перпендикулярных направлений в Р ( ортогональный репер), с тем чтобы иметь возможность зафиксировать метрику в Р и описать волновую величину г) через ее компоненты; все допустимые ортогональные реперы в точке Р получаются друг из друга при помощи локальных преобразований Лоренца, которые оставляют точку Р неизменной. Но вращения этих локальных реперов могут производиться в различных точках Р совершенно независимо - величины в различных точках не связываются друг с другом, как в специальной теории относительности. Симметрия тензора энергии-импульса может быть выведена из его инвариантности по отношению к таким вращениям. Можно фактически принять за общее правило, что каждое свойство инвариантности типа, встречающегося в общей теории относительности, относящееся к произвольной функции, приводит к появлению дифференциальной теоремы сохранения. [20]
Полученные равенства выражают то обстоятельство, что при отсутствии внешних сил количество движения системы ( OV) остается постоянным по величине и направлению в течение всего времени движения. Это заключение представляет собой теорему сохранения количества движения системы. [21]
Перечисленные свойства сохраняемости справедливы, конечно, лишь в идеальной жидкости или газе и при консервативности поля объемных сил. В реальных жидкостях и газах теоремы сохранения неверны: вихревые линии могут разрушаться, а частицы начать или перестать вращаться. [22]
Таким образом, возможны два способа исключения импульсов из уравнений ( 103); первый, когда эти уравнения просто складываются, приводит к теореме сохранения количества движения ( 105); второй - к соотношению ( 107), которое после алгебраических преобразований дает выражение, определяющее потерю кинетической энергии при ударе. Отметим, что соотношение ( 107), в противоположность теореме сохранения количества движения, содержит коэффициент восстановления при ударе и, следовательно, зависит от предположения о физических свойствах соударяющихся тел. [23]
В открытых системах, к которым принадлежат и все экосистемы, согласно теореме сохранения упорядоченности в них, сформулированной в 1955 г. И.Р.Пригожиным, энтропия не возрастает. Ее значение уменьшается, пока не достигнет минимальной постоянной величины, всегда большей нуля. [24]
Все эти результаты можно проверить непосредственно, однако более глубокое их значение может быть понято, как уже упоминалось выше, только при переходе к общей теории относительности. Как теорема сохранения электрического заряда следует из калибровочной инвариантности уравнений, так и теоремы сохранения импульса-энергии следуют из того обстоятельства, что интеграл действия, сформированный в соответствии с общей теорией относительности, инвариантен относительно произвольного ( инфинитезимального) преобразования координат. Руководствуясь этой общерелятивистской формулировкой, мы далее должны в каждой точке Р пространства-времени построить нормальную систему координатных осей, состоящую из четырех взаимно перпендикулярных направлений в Р ( ортогональный репер), с тем чтобы иметь возможность зафиксировать метрику в Р и описать волновую величину г) через ее компоненты; все допустимые ортогональные реперы в точке Р получаются друг из друга при помощи локальных преобразований Лоренца, которые оставляют точку Р неизменной. Но вращения этих локальных реперов могут производиться в различных точках Р совершенно независимо - величины в различных точках не связываются друг с другом, как в специальной теории относительности. Симметрия тензора энергии-импульса может быть выведена из его инвариантности по отношению к таким вращениям. Можно фактически принять за общее правило, что каждое свойство инвариантности типа, встречающегося в общей теории относительности, относящееся к произвольной функции, приводит к появлению дифференциальной теоремы сохранения. [25]
Отсюда следует, что циклические импульсы сохраняют постоянную величину. В полярных координатах это соответствует известной теореме сохранения момента количества движения при равенстве нулю момента приложенной силы, а в декартовых - теореме сохранения проекции количества движения при равенстве нулю проекции главного вектора внешних сил на соответствующую ось. [26]
Для устранения этих недостатков можно попытаться построить полностью невязкую, нелинейную модель пограничных течений. Привлекательность этого подхода состоит в том, что результаты анализа такой модели не будут зависеть от малоизвестных параметров, которые необходимо подбирать для обеспечения хорошего согласия с наблюдениями. Кроме того, в чисто инерционной теории можно использовать теоремы сохранения для недиссипативных течений, что облегчает анализ нелинейной задачи. [27]
Четыре других определятся из следующих соображений. Мы убедились в § 6 одиннадцатой лекции, что для такой жидкости, как рассматриваемая, принцип Даламбера применяется в той же форме, как для системы отдельных материальных точек. Поэтому из разъяснения, сделанного в четвертой лекции, следует, что для рассматриваемого движения применимы теорема живых сил, теорема сохранения движения центра тяжести и теорема сохранения площадей. Составим сперва уравнение, выражающее теорему живых сил. [28]
Четыре других определятся из следующих соображений. Мы убедились в § 6 одиннадцатой лекции, что для такой жидкости, как рассматриваемая, принцип Даламбера применяется в той же форме, как для системы отдельных материальных точек. Поэтому из разъяснения, сделанного в четвертой лекции, следует, что для рассматриваемого движения применимы теорема живых сил, теорема сохранения движения центра тяжести и теорема сохранения площадей. Составим сперва уравнение, выражающее теорему живых сил. [29]
В среде, охваченной сверхзвуковыми движениями, неизбежно имеются как сильные, так и слабые возмущения различных масштабов и амплитуд. Нелинейные гидродинамические процессы взаимодействия таких возмущений и есть причина возникновения завихренности в среде - Взаимодействия слабых потенциальных движений друг с другом не могут порождать вихри - для них выполняется теорема сохранения циркуляции; вихри рождаются при взаимодействиях слабых потенциальных возмущений с сильными и сильных друг с другом. [30]