Теорема - сохранение
Cтраница 3
При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс - константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это - принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия. В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [31]
Рассмотрим, что происходит с общим запасом кинетической энергии, когда расстояние s между двумя телами уменьшается на As, как это показано на рис. 23.12. Силу можно принять постоянной; произведение FAs, представленное на рисунке заштрихованной полосой, показывает уменьшение общей величины кинетической энергии. Если при том же расстоянии s тела расходятся на As, их полная кинетическая энергия возрастает на ту же величину FAs. Если вслед за этим тела расходятся, они вновь приобретают кинетическую энергию, выражаемую той же площадью. В конце взаимодействия массы обладают той же кинетической энергией, как и в начале, при условии, что закон изменения силы в функции расстояния остается неизменным при расхождении и сближении масс. Мы расширили нашу теорему сохранения кинетической энергии на случай любого столкновения, в котором силы зависят только от расстояния. Взаимодействие такого рода называется упругим взаимодействием, или упругим соударением. [33]
Все эти результаты можно проверить непосредственно, однако более глубокое их значение может быть понято, как уже упоминалось выше, только при переходе к общей теории относительности. Как теорема сохранения электрического заряда следует из калибровочной инвариантности уравнений, так и теоремы сохранения импульса-энергии следуют из того обстоятельства, что интеграл действия, сформированный в соответствии с общей теорией относительности, инвариантен относительно произвольного ( инфинитезимального) преобразования координат. Руководствуясь этой общерелятивистской формулировкой, мы далее должны в каждой точке Р пространства-времени построить нормальную систему координатных осей, состоящую из четырех взаимно перпендикулярных направлений в Р ( ортогональный репер), с тем чтобы иметь возможность зафиксировать метрику в Р и описать волновую величину г) через ее компоненты; все допустимые ортогональные реперы в точке Р получаются друг из друга при помощи локальных преобразований Лоренца, которые оставляют точку Р неизменной. Но вращения этих локальных реперов могут производиться в различных точках Р совершенно независимо - величины в различных точках не связываются друг с другом, как в специальной теории относительности. Симметрия тензора энергии-импульса может быть выведена из его инвариантности по отношению к таким вращениям. Можно фактически принять за общее правило, что каждое свойство инвариантности типа, встречающегося в общей теории относительности, относящееся к произвольной функции, приводит к появлению дифференциальной теоремы сохранения. [34]
Страницы: 1 2 3