Cтраница 3
Ясно, что все внутренние точки области аналитичности функции f ( г) являются правильными точками. Действительно, в силу теоремы Тейлора можно получить разложение аналитической функции в ее ряд Тейлора в окрестности любой внутренней точки. Граничные точки области аналитичности могут быть как правильными, так и особыми. [31]
Я хочу еще оживить теорему Тейлора тем, что покажу, в каком отношении она стоит к проблемам интерполирования и разностного исчисления. [32]
В однородном слое жидкости градиент потенциального вихря, обусловленный наклоном дна, динамически эквивалентен градиенту планетарной завихренности. Динамическое подобие двух этих эффектов целиком определяется теоремой Тейлора - Праудмена, т.е. тем фактом, что в однородной жидкости при малых числах Россби горизонтальная скорость не должна зависеть от глубины. Этим и объясняется, что растяжение вихревых нитей, создаваемое у нижней границы движением над склоном, оказывается существенным в пределах всего слоя и соответствующие изменения относительного вихря неотличимы от изменений, вызываемых движением в поле градиента планетарного вихря. Очевидно, что стратификация, при наличии которой вертикальное движение подавляется, а горизонтальная скорость зависит от глубины, должна значительно изменить динамическое соотношение между наклоном дна и р - эффектом. В то же время введение наклона дна изменяет задачу на собственные значения, обсужденную в разд. [33]
Важно отметить, что эта теорема основана на ряде предположений относительно полного уравнения вихря. Отброшенные члены никогда точно не равны нулю, и справедливость теоремы Тейлора - Праудмена зависит от относительной величины этих членов, в силу чего следует, вообще говоря, ожидать отклонений от столбообразного движения. [34]
Благодаря этой тесной связи с очень простыми вопросами и благодаря тому, что предельный переход здесь так легок, я считаю этот вывод формулы Тейлора лучшим из всех возможных выводов. Однако не все математики, даже хорошо знакомые с этими вещами, - нужно, впрочем, заметить, что, как это ни странно, их часто не знают даже составители учебников, - придерживаются этого мнения; они обыкновенно принимают очень серьезный вид, приступая к предельному переходу, и предпочитают дать непосредственное доказательство теоремы Тейлора, чем вывод ее при помощи исчисления конечных разностей. [35]
Теорема Тейлора доказана в предположении, что функция / ( г) - аналитическая в круге г - г0 R. Используя теорему Тейлора, получаем следующее следствие. [36]
Рассмотрение последних двух разделов главы отходит от общего взгляда, приобретая специфику по классу целевых функционалов, исследуемых при проектировании системы. Дается определение и обсуждение небольшого числа ключевых ( и простых) математических понятий и обозначений, которые требуются для постановки и решения задачи. Основными средствами исследований являются матрицы, дифференциальное исчисление многих переменных и теорема Тейлора. Наконец, что наиболее важно, дается подробное описание задач оптимизации проекта для пяти типовых систем. Эти примеры являются прототипами классов задач проектирования, рассматриваемых в книге. В самом деле, каждая из пяти сформулированных здесь задач используется в последующих главах для иллюстрации изучаемых методов проектирования, сопоставления методов и служит образцом их применения при проектировании систем и конструкций. [37]
К настоящему времени накоплен большой материал как в области теории, так и в области экспериментальных исследований вращающихся жидкостей. Исследованию данной проблемы посвящена, например, монография Н. Р. Гриншпана [13], снабженная обширной библиографией. Ряд вопросов, рассмотренных в литературе, представляет интерес и при анализе гидродинамики центрифуг. В частности, заслуживает внимания теорема Тейлора - Праудмана. [38]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе ( для векторных функций) и находим условия для ее ( столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [39]
Бринкли ( 1763 - 1835) в статье Метод выражения, когда возможно, значения одной переменной величины через целые степени другой и постоянные величины... Он указал также, что случаев, когда это осуществимо, сравнительно мало. Когда эти ряды сходятся, они дают требуемое решение. Бринкли предложил свой метод для нахождения общего члена ряда, основанный на теореме Тейлора, которую он вывел здесь по своему. Бринкли пользовался еще терминологией Ньютона, в которой слово флюксия равносильно нашему производная, введенному в обиход Лагранжем. Он находит п-ю флюксию от хт, когда m - любое целое или дробное положительное или отрицательное число, и в качестве одного из примеров записывает, не прибегая к вычислению предыдущих флюксий, шестую флюксию от хт. В статье [25] Бринкли применяет свой способ нахождения флюксии любого порядка к различным задачам. [40]
Константа С называется асимптотической константой погрешности. Для р 2 сходимость называется квадратичной. Требование того, чтобы константа С не равнялась нулю, означает лишь, что р следует выбирать на -: столько большим, насколько это возможно; без ограничения С 0 квадратично сходящаяся последовательность может удовлетворять также и определению линейно сходящейся последовательности. Заметим, что если р 1, то С не обязано быть меньше 1 для того, чтобы последовательность сходилась. Значения р и С для обеих наших последовательностей - экспоненциальной и логарифмической - можно вычислить очень просто. Для этого достаточно воспользоваться частным случаем теоремы Тейлора, которую можно найти в любом курсе математического анализа. [41]