Cтраница 1
Теорема Штурма позволяет прежде всего определить число всех действительных корней. [1]
Теорема Штурма полностью решает вопрос о числе действительных корней многочлена. Ее существенным недостатком является, однако, громоздкость вычислений, выполняемых при построении системы Штурма, как читатель мог убедиться, проделав все вычисления, относящиеся к первому из рассмотренных выше примеров. Нзиду этого сейчас будут доказаны две теоремы, не дающие точного числа действительных корней, а лишь ограничивающие это число сверху. [2]
Теорема Штурма может быть получена как следствие теоремы Эрмита. [3]
Теорема Штурма позволяет прежде всего определить число всех действительных корней. [4]
Теорема Штурма дает возможность сравнивать колебательный характер линейно независимых частных решений одного и того же однородного линейного уравнения второго порядка ( 11), так что если колебательный характер одного из частных решений известен, то тем самым известен и колебательный характер любого другого частного решения. В частности, оба линейно независимые решения уравнения ( 11) являются колеблющимися в интервале ( а, 6), если одно из них имеет в этом интервале более двух нулей. [5]
Из теоремы Штурма ( см. § 3) и асимптотических формул для собственных функций следует, что sn должно находиться вблизи п, а не какого-либо другого целого числа. [6]
Из теоремы Штурма вытекают, в частности, следующие результаты. [7]
Позднее теорема Штурма предстала с точки зрения, совершенно отличной от точки зрения ее автора, и была выведена независимо от какого-либо рассмотрения непрерывности, из свойств квадратичных форм. [8]
По теореме Штурма [87] между любыми двумя нулями одного решения уравнения (3.1) находится нуль другого решения. Это сразу следует из простых геометрических рассмотрений. Действительно, пусть уг ( 1) 9 yz ( t) - два линейно независимых решения уравнения (3.1) и у-вектор с компонентами У. Ot ( О - Выше было показано, что вектор у ( /) вращается монотонно. В обоих случаях t / 2 () 0 для значения / ( tQ f, ), при котором вектор y ( t) пересекает ось координат. [9]
Пользуясь теоремой Штурма, легко доказать, что каждые две такие кривые пересекаются в одной точке. [10]
Итак, теорема Штурма дает лучший результат. [11]
Имеет место теорема Штурма: индекс / относительно g равен разности числа перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма, вычисленных в начале и в конце отрезка. [12]
Тем самым теорема Штурма полностью доказана. [13]
Имеет место теорема Штурма: индекс / относительно g равен разности числа перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма, вычисленных в начале и в конце отрезка. [14]
Другие варианты теоремы Штурма получаются, когда некоторые из рассмотренных выше точек совпадают. [15]