Cтраница 3
Общий ответ на этот вопрос дает, как известно, теорема Штурма. Нетрудно так дополнить наши фигуры, чтобы они давали удовлетворительное наглядное решение и этого общего вопроса. [31]
Если функция Ф ( х) ограничена, то по теореме Штурма корпи Т ( х) и Т ( х) чередуются и являются простыми. Следовательно, нули и полюса функции у ( х) обладают теми же свойствами. Поскольку la l l, в бесконечность должен обращаться числитель Ф ( х) ( см. ( 11)), который характеризует источники движения. Случай, когда задана величина у ( х), сводится к рассмотренному заменой переменных. Отметим, что полюс функции S ( х) не может появиться внутри интервала, например, попав туда из комплексной области. Таким образом, если источники движения, определяемые краевыми условиями, ограничены, то ограничено и решение. [32]
Если у ( а) 0, то это вытекает из теоремы Штурма. [33]
Разбивая этот промежуток на более мелкие промежутки, можно, пользуясь теоремой Штурма, определить число корней, содержащихся в каждом из них. Если в некотором промежутке содержится более одного корня, то его можно снова разбить на более мелкие. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока каждый корень не окажется заключенным в отдельный промежуток. [34]
Далее Эрмит связывает теорему Штурма с теоремой Коши, которая почти следовала теореме Штурма, давала метод той же природы для определения мнимых корней уравнения, находящихся внутри области, ограниченной некоторым контуром. [35]
Правило знаков не дает исчерпывающей информации о числе положительных корней и поэтому здесь используется теорема Штурма. Заметим, что она остается справедливой, если в ( 3 - 48) умножается любая функция Штурма на положительную постоянную, и используем это свойство в примере. [36]
Для доказательства этого утверждения достаточно повторить изложенное выше доказательство теоремы Паскаля, только вместо теоремы Штурма следует воспользоваться соответствующим ее вариантом. [37]
Существуют разные способы отделения корней алгебраического уравнения, но самый лучший из них в теоретическом плане дается теоремой Штурма. Прочитанное в заседании секции геометрии Академии наук 8 июня 1829 г. и опубликованное в Бюллетене [ II, 401 ] сообщение Штурма начиналось с благодарности Фурье, который дал автору прочесть часть своей рукописи, содержащей изложение метода отделения корней. Опираясь на принципы Фурье и подражая его доказательствам, Штурм нашел несколько новых теорем, которые и опубликовал в редактируемом им журнале, рассуждая следующим образом. [38]
Из сказанного следует, что индекс любой рациональной функции R ( x) может быть определен при помощи теоремы Штурма. [39]
Наконец, еще одно замечательное свойство нулей QvQvn многочлена РМ ( cos б) может быть доказано применением теоремы Штурма. [40]
Эти линии пересекаются в двух точках 1 и 4 ( имеют общую хорду 14), и потому к ним применима теорема Штурма. [41]
Из замечаний 1 и 2 следует, что индекс любой рациональной функции R ( x) может быть определен с помощью теоремы Штурма. [42]
Для выяснения того, есть ли у полинома N ( х) вещественные корни нечетной кратности в заданном интервале, используют теорему Штурма, доказательство которой приводится в курсах высшей алгебры. [43]
Если ни одно из этих чисел не равно нулю, вычислим число б ( а) - б ( Ь) и применим теорему Штурма. [44]
В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля оказываются справедливыми все следствия, которые выводились в § 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема Штурма о вещественных корнях. [45]