Cтраница 2
Если произвести какую-нибудь непрерывную деформацию пространства ( или как бы заполняющего его массу пластелина) и понимать затем под прямыми, плоскостями и конгруентными фигурами те, которые возникли при этой деформации из действительных прямых, действительных плоскостей, фактически конгруентных фигур, то очевидно, что все теоремы геометрии будут справедливы и для этих вновь введенных понятий. Таким образом невозможно отличить логически систему тех линий, которые получились из прямых в результате подобной деформации пространства, от системы прямых линий. [16]
Излагая предшествующие соображения, мы начали с того, что отделили отношения протяженности ( или отношения взаимного расположения) от метрических отношений, и пришли к заключению, что при одних и тех же отношениях протяженности мыслимы различные метрические отношения; затем установили системы простых метрических отношений, которыми полностью определяется метрика пространства и необходимым следствием которых являются все теоремы геометрии. [17]
К настоящему времени разработана математическая теория как для перспективной ( начертательной), так и для аффинной геометрии. Теоремы аффинной геометрии идентичны теоремам геометрии Евклида. И в той и в другой науках важным понятием является параллелизм. В перспективной геометрии прямые в общем случае не параллельны. [18]
Наименее ясным свойством является аксиома параллельных. Хопфа принадлежит к немногим теоремам римановоа геометрии, не имеющим аналогов в пространствах Финслера. [19]
Аксиомы возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы геометрии оказываются согласными с опытом; этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной. [20]
Это геометрическое равенство, свойственное всем векторным величинам, называют правилом параллелограмма. При вычислении равнодействующей по этому правилу приходится применять теоремы геометрии и тригоно - - метрии. Так, например модуль равнодействующей двух векторов, направленных под углом друг к другу, можно определить по теореме косинусов, а направление равнодействующей определить, , применив теорему синусов. [21]
Эквивалентным утверждением для римановых пространств является следующее: если для любых двух плоскостных элементов dPi и df, проходящих через р, существует движение, которое оставляет неподвижной точку р и переводит dl в / Р2, и если то же самое верно для точки q, то пространство имеет постоянную кривизну. Теорема имеет локальный характер, как почти все теоремы римано-вой геометрии. Чтобы условия могли быть применены к двумерным пространствам и пространствам Финслера, они должны быть видоизменены так, чтобы - в нашей терминологии - существовали сферы S ( /, 8p) и S ( 7, S. Утверждается, что некоторая окрестность точки р, скажем S ( p, v), элементарна. [22]
Большой интерес представляют также работы X. Гелерн-тера в области создания эвристической программы для доказательства теорем геометрии. Его программа моделирует три вычислительные машины ( ВМ): синтаксическую, диаграммную п эвристическую. [23]
Имея в своем распоряжении основные понятия расстояния и угла, мы можем теперь без особого труда развивать геометрию Галилея сколь угодно далеко. Конечно, теоремы этой геометрии совсем не похожи на теоремы геометрии Евклида. Например, в любом треугольнике большая сторб-на равна в геометрии Галилея сумме двух других сторон и, аналогично, больший угол равен сумме двух других углов. [24]
Здесь и далее изложение Клейна несколько схематично. Однако он и не преследует цель дать скрупулезный вывод всех теорем геометрии из вводимых аксиом, а имеет в виду лишь обрисовать общую схему обоснования геометрии с использованием групп преобразований. [25]
С, лежащую вне прямой АВ, плоскости ABC проходит несколько прямых, не встречающих А В. Так как это допущение противоречит V постулату, то оно должно было би привести к противоречию с теоремами абсолютной геометрии, и это было бы равносильно доказательству постулата. На первый взгляд они представлялись даже абсурдными, расходящимися с обычными наглядными представлениями, но логически составляли непротиворечивую геометрич. [26]
Оглядываясь теперь на наши различные виды геометрий, мы видим, что преобразования, связанные с каждой из них, каждый раз образуют группу. Столь же легко можно убедиться в аналогичном значении аффинной группы ( состоящей из всех аффинных преобразований) для аффинной геометрии и проективной группы ( всех коллинеации) для проективной геометрии. Теоремы геометрии обратных радиусов остаются в силе при всех преобразованиях, получаемых композицией любых преобразований посредством обратных радиусов с подстановками главной группы; все они вместе взятые снова образуют некоторую группу, а именно - группу обратных радиусов. [27]
Рассмотреть случай детерминанта с тремя строками, принимая элементы строки за составляющие некоторого вектора. Что тогда выражает собой это неравенство геометрически. Какую теорему геометрии на плоскости представляет оно собой, если его написать для детерминанта с двумя строками. [28]
Рассмотреть случай детерминанта с тремя строками, принимая элементы строки за составляющие не-которого вектора. Что тогда выражает собой это неравенство геометрически. Какую теорему геометрии на плоскости представляет оно собой, если его написать для детерминанта с двумя строками. [29]
Особенностью аксиоматики Гильберта является также специальная роль, которую в ней играет аксиома параллельности V. V позволяет отделить теоремы геометрии, не зависящие от аксиомы параллельности, от теорем, от этой аксиомы зависящих. [30]