Cтраница 3
Абстрактная теория предполагает, что они даны, и не нуждается ни в каких предположениях об их действительном численном значении или о способе их измерения на практике. Целый ряд наиболее важных приложений носит качественный характер и не зависит от численных значений вероятностей событий; общие же выводы теории находят себе многочисленные применения, совершенно так же, как теоремы геометрии служат основой и физических теорий и технических приложений. В тех сравнительно редких случаях, когда требуется знать численное значение вероятностей событий, вычислительные приемы варьируются так же широко, как меняются методы определения расстояний. Когда плотник, землемер, летчик и астроном измеряют расстояния, то в их действиях мало общего. В нашем круге вопросов мы будем, например, рассматривать коэффициент диффузии, определяемый с помощью понятий теории вероятностей. Чтобы найти численное значение этого коэффициента, требуются физические рассмотрения, связывающие явление диффузии с другими теориями; прямое же измерение невозможно. Таблицы продолжительнисти жизни, наоборот, составляются на основании наблюдений. В наиболее важных приложениях определение вероятностей событий или сравнение результатов теории с данными наблюдений требуют применения довольно сложных статистических методов, основанных в свою очередь на тонкой вероятностной теории. Другими словами, хотя наглядный смысл вероятностей событий и ясен, но лишь по мере развития теории мы увидим, как следует применять это понятие. [31]
Египет и Вавилон, познакомившись с др. - вост. ПИФАГОРА ТЕОРЕМА, теорема геометрии, приписываемая Пифагору: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. [32]
На интуитивном уровне эта фраза кажется содержательной - она отвечает нашим представлениям о плоскости. Однако с точки зрения геометрии она лишена смысла, поскольку в аксиомах и теоремах геометрии нет упоминания о каких-либо часовых стрелках. Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы придать указанным понятиям ясный геометрический смысл. [33]
В предыдущей главе было доказано, что аксиома параллельности независима от остальных аксиом евклидовой геометрии. Отсюда следует, что, заменив эту аксиому ее отрицанием, мы получим также логически непротиворечивую систему. Геометрия, основанная на этой системе аксиом, называется геометрией Лобачевского. Это позволит теоремы геометрии Лобачевского получать в любой из ее реализаций. [34]
Конечно, этот скачок был достаточно длительным. Есть указания на то, что простейшие теоремы геометрии доказывались уже Филесо. Демокрит дал глубокие для своего времени выводы, содержавшие как бы первый зародыш интегрального исчисления. Открытие несоизмеримых отрезков и последовавшее на ним создание теории отношений несоизмеримых величин было большим достижением греч. Следует различать знание математич. Так, составляющее содержание теоремы Пифагора соотношение между квадратами, построенными на сторонах прямоугольного треугольника, было известно до Пифагора, но соответствующая теорема не была доказана. Помимо понятия о бесконечно продолжаемом ряде целых чисел и неограниченно продолжаемой прямой, возникло также представление о неогранич. Непрерывное, первоначально не подвергавшееся анализу, выступает как неограниченно долимое, содержащее неогранич. При этом, однако, не происходит отказа от существующих теорий; они лишь углубляются и обобщаются. Так, геометрия Лобачевского не опровергает геометрию Эвклида, но обе теории включаются в пек-рую общую систему. Роль каждого из этих факторов различна в каждом конкретном случае. В конечном счете, решающим является влияние др. наук и-гл. [35]
Созданная несколько ранее Ньюэллом н др. программа Логический теоретик, к-рая явилась непосредственным предшественником GPS, использовалась Дж. С помощью этой программы, получившей название SAINT, удавалось брать как неопределенные, так и определенные интегралы, подынтегральные выражения к-рых представляют собой элементарные ф-ции действительных переменных. Большой интерес представляют также работы X. Гелерн-тера в области создания эвристической программы для доказательства теорем геометрии. Его программа моделирует три вычислительные машины ( ВМ): синтаксическую, диаграммную и эвристическую. [36]
Лишь одно препятствие стояло на пути всепроникающего скептицизма Юма - существование общепризнанных истин самой математики. Просто отмахнуться от них Юм не мог, и ему не оставалось ничего другого, как попытаться принизить ценность математических истин. То, что дважды два - четыре, не ново. В действительности дважды два - всего лишь иной способ записать или назвать устно число четыре. Что же касается теорем геометрии, то они представляют собой повторения в более сложной форме аксиом, в которых в свою очередь не больше смысла, чем в утверждении о том, что дважды два - четыре. [37]
Мы воспринимаем, организуем и постигаем опыт в соответствии с теми формами мысли, которые присущи нашему разуму. Опыт попадает в них, словно тесто в форму. Рассудок отпечатывает их на воспринятых чувственных впечатлениях, вынуждая ощущения подстраиваться под априорные формы мысли. Поскольку созерцание пространства присуще разуму, он автоматически постигает некоторые формы пространства. Такие постулаты геометрии, как прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками или через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну, а также аксиома Евклида о параллельности, которые Кант называл априорными синтетическими суждениями, являются частью оснащения нашего разума. Геометрия как наука занимается изучением логических следствий из этих постулатов. Тот факт, что рассудок воспринимает опыт в понятиях пространственной структуры, предопределяет согласие опыта с исходными аксиомами, постулатами и теоремами геометрии. [38]
Более значительным примером аксиоматического определения является система аксиом геометрии. Рассмат риваемую систему объектов будем разделять на три класса: точки, прямые и плоскости - и будем употреблять для них термины: точка а принадлежит прямой Л, прямая А принадлежит плоскости 51, точка а лежит между точками b и с и другие, выражающие отношения между объектами системы. Вместе с тем, употребляя эти термины, мы не будем вкладывать в них смысла пространственных отношений, а вместо этого выскажем для них некоторую систему аксиом. Это можно сделать по-разному, но существует вполне определенная система аксаом, носящая название системы аксиом геометрии Евклида. Эта система была предложена Гильбертом. В этих аксиомах высказаны все те предпосылки, которые явным или неявным образом употреблялись при доказательстве теорем геометрии Евклида. Таким образом, выводимые из этих теорем следствия адекватно выражают свойства евклидова пространства, интуитивное представление о котором было почерпнуто из непосредственного опыта и существует издавна в умах людей. [39]