Cтраница 3
Здесь, может быть, имеет смысл приоткрыть завесу над прикладной значимостью математики. Неписанный этикет, который циники называют мошенничеством, предписывает напоминать о важности любой теоремы, большой или маленькой, правильной или неправильной. Для открытия финансирования это действительно важно - но в том нет никакой беды, ибо так устроен мир. Более того, в том заключена мудрость, поскольку от науки требуется не эффективность1, а незатухающее тление. [31]
Исходные понятия стереометрии имеют решающее значение для развития пространственных представлений. Эти понятия сами по себе несложны, но требуют определенной логической культуры - умения совершенно строго, на основе данных определений, сводить доказательство любой теоремы к применению только перечисленных в начале аксиом и ранее доказанных теорем. Это в свою очередь требует точного знания исходных определений и теорем. В результате оказывается, что в лучшем случае даются эквивалентные формулировки, а это приводит к неожиданным осложнениям в доказательствах теорем. [32]
Исходные понятия стереометрии имеют решающее значение для развития пространственных представлений. Эти понятия сами по себе несложны, но требуют определенной логической культуры - умения совершенно строго, на основе данных определений, сводить доказательство любой теоремы к применению только перечисленных в начале аксиом и ранее доказанных теорем. Это в свою очередь требует точного знания исходных определений и теорем. К сожалению, поступающие часто считают, что геометрическая интуиция всегда поможет им дать правильные определения и формулировки аксиом. В результате оказывается, что в лучшем случае даются эквивалентные формулировки, а это приводит к неожиданным осложнениям в доказательствах теорем. [33]
Из посылки и заключения состоит любая математическая теорема. Доказать ее означает доказать, что если посылка верна ( или, как говорят математики, истинна), то и заключение также верно. Для понимания любой теоремы очень важно четко отличать ее посылку от заключения. [34]
S, будучи приложена к твердому телу, оставляет его в равновесии. По сказанному, система сил, приложенных к твердому телу и находящихся в равновесии, изображается системой скользящих векторов, эквивалентной нулю; следовательно, по установленному выше определению, эквивалентные системы сил изображаются эквивалентными же системами скользящих векторов. Отсюда вытекает, что любая теорема из теории векторов, касающаяся эквивалентных систем, находит свое толкование в статике твердого тела. При частном выборе полюса, а именно, если он взят на центральной оси, результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг к другу. Эквивалентные системы сил сообщают точкам твердого тела одни и те же ускорения, но реакции связей, им соответствующие, при одном и том же кинематическом состоянии тела, вообще говоря, будут различны. [35]
Две системы сил S, и S2 мы назовем эквивалентными, если сложная система, составленная из Sl и системы, прямо противоположной S2, или, наоборот, из 6V2 и системы, прямо противоположной Sv будучи приложена к твердому телу, оставляет его в равновесии. По сказанному, система сил, приложенных к твердому телу и находящихся в равновесии, изображается системой скользящих векторов, эквивалентной нулю; следовательно, по установленному выше определению, эквивалентные системы сил изображаются эквивалентными же системами скользящих векторов. Отсюда вытекает, что любая теорема из теории векторов, касающаяся эквивалентных систем, находит свое толкование в статике твердого тела. При частном выборе полюса, а именно, если он взят на центральной оси, результирующая сила и плоскость результирующей пары перпендикулярны друг к другу. Эквивалентные системы сил сообщают точкам твердого тела одни и те же ускорения, но реакции связей, им соответствующие, при одном и том же кинематическом состоянии тела, вообще говоря, будут различны. [36]
Нетрудно убедиться, что это обратное интегральное преобразование лишь несущественными деталями отличается от самого преобразования Лапласа. Это означает, в частности, что любая теорема, в которой условия налагаются на F ( z), может быть переделана в теорему с условиями на f ( x), и наоборот. [37]
Напомним, что решеткой называется частично упорядоченное множество, любые два элемента a, b которого обладают наименьшей верхней гранью а / Ь, называемой объединением, и наибольшей нижней гранью а / Ь, называемой пересечением. Если в некоторой решетке заменить порядок на противоположный ( двойственный), то получится снова решетка, в которой объединение элементов в новом смысле является пересечением этих элементов в старом смысле, и наоборот. На этом замечании основывается принцип двойственности для решеток, заключающийся в том, что вместе с любой теоремой о решетках верна двойственная к ней. [38]
Основу любой геометрии составляет система аксиом. Любые геометрические определения и предложения, равно как и доказательства теорем, базируются на принятой системе аксиом. В процессе параллельного проецирования ( получения проекций геометрической фигуры по ее оригиналу) или реконструкции чертежа ( воспроизведение оригинала по заданным его проекциям), любое определение, любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые играют в начертательной геометрии такую же важную роль, как аксиомы в геометрии. [39]
Посмотрим, как все четыре элементарные фигуры Пенроуза входят в пентаграмму. Как любит говорить Конуэй, в основе двух наборов элементарных фигур лежат одни и те же золотые штучки. Любая теорема о змеях и наконечниках может быть переформулирована в соответствующую теорему о ромбах Пенроуза или о любой другой паре его элементарных плиток, и наоборот. Конуэй предпочитает иметь дело с наконечниками и змеями, но другим математикам нравится работать с более простыми ромбами. [40]
Фильтром называется множество, двойственное к идеалу. Точнее, множество F есть фильтр, если / CF является идеалом. Если / - максимальный идеал, то и фильтр называется максимальным. Любая теорема об идеалах имеет двойственный аналог в виде соответствующей теоремы о фильтрах, и наоборот. Фильтр, двойственный собственному идеалу, называется собственным ИЛЕ центрированным. Такой фильтр не содержит нуля. [41]
Изучение математики чрезвычайно ценно с точки зрения педагогики. Формальная логика находит в математике благодатнейшую почву для упражнений и примеров. Ни одна наука не укрепляет гак веру в силу человеческого разума, как математика. Возможность доказательства любой теоремы исключает любые словесные ухищрения. [42]
Указанные десять свойств позволяют сделать и другой интересный ВЫЕОД. В теореме 1.1 эти свойства фигурируют попарно таким образом, что каждый член любой пары получается из другого члена одновременной взаимной заменой ( J и Г), ф и U. Равенство ( или выражение, или утверждение) алгебры множеств, полученное из другого равенства ( соответственно, выражения или утверждения) заменой всех вхождений U на Г), Г) на ( J, 0 на U и U на 0, называют двойственным исходному. Мы утверждаем, что предложение, двойственное любой теореме алгебры множеств, сформулированной в терминах ( J, П и -, для доказательства которой можно обойтись лишь тождествами 1 - 5 и Г-5, также является теоремой. [43]
В арифметике, представленной системой аксиом I - VIII с рекурсивными равенствами, формально выводимы все теоремы известной нам элементарной арифметики. По-видимому, в ней выводимы также и все теоремы существующей в настоящее время теории чисел. То обстоятельство, что теория чисел широко использует средства и идеи анализа, доказывает только, что в этих сред ствах заключаются богатые эвристические элементы, позволяющие отыскивать подходы и пути для решения трудных проблем теории чисел. Но вместе с тем вполне возможно, что формальное доказательство любой теоремы теории чисел может быть проведено средствами одной аксиоматической арифметики. Мы ограничимся здесь формальным выводом самых основных теорем элементарной арифметики, именно - мы выведем свойства сложения и умножения. [44]
Мы исключим неопределенность, вызванную тем, что данному макросостоянию системы соответствует большое число различных микросостояний, таким приемом: будем повторять очень часто, исходя из одного и того же макросостояния, некоторый процесс и будем исследовать, как он протекает в каждом отдельном случае. Характер этого процесса в отдельных случаях будет различен, в зависимости от числа и характера возможных в данных условиях микросостояний, но если образовать из полученных в отдельных случаях результатов среднее, то можно рассчитывать притти к совершенно определенным закономерностям. Несмотря на то, что эти закономерности будут иметь лишь статистический или вероятностный характер, их можно сформулировать с неменьшей точностью, чем любые теоремы динамики. Поясним это простым примером статистического предложения, которое может притязать на абсолютную точность. Возьмем обыкновенную симметрично сделанную игральную кость, имеющую шесть граней. [45]