Cтраница 3
При проведении этой классификации используется также тот факт, что всякое отображение сферы Sn, n 2, в окружность S1 гомотопно нулю. Доказательство этой совершенно элементарной теоремы здесь также приводится. [31]
Этого нехитрого примера достаточно для демонстрации возможной нудности доказательств. Ниже приведены несколько элементарных теорем без формальных доказательств. [32]
Формулу 1 нетрудно установить следующим способом. Формула 2 немедленно вытекает из элементарных теорем о гомоморфизмах для векторных пространств. Формальное доказательство мы предоставляем в качестве упражнения читателю. [33]
Эта первая работа настоящего сборника является вспомогательной для дальнейшего. В § 1 - 3 изложены довольно элементарные теоремы о характеристической функции матрицы. [34]
Основные положения статики вытекают из теоремы об изменении кинетической энергии системы. Такой прием позволяет, во-первых, исключить из курса ряд элементарных теорем статики, которые получаются в данном случае как следствия, и, во-вторых, получить условия равновесия сил, действующих на абсолютно твердое тело, именно в то время, когда они необходимы студентам для изучения сопротивления материалов. [35]
Конечно, сведение сложных предельных процессов к простому пределу варианты представляет интерес само по себе. Но для нас оно было важно еще и в том отношении, что освобождало от необходимости всякий раз вновь устанавливать элементарные теоремы из теории пределов. [36]
Следствие 28.2.1 можно получить прямо из теории отделимости ( § 11), не пользуясь теоремой 21.2 и какими-либо фактами, связанными с полиэдральной выпуклостью. Для этого необходимы почти те же рассуждения, что и при доказательстве первой части теоремы 28.2, разве что вместо теоремы 21.2 можно применить более элементарную теорему 21.1. Совсем нетрудно восстановить детали этого доказательства. [37]
В этом приложении излагаются сведения из теории функций комплексного переменного, необходимые для понимания основного текста книги и приложения 2, посвященного операционному исчислению. Предполагается, что читателю известны начальные сведения о комплексных числах и алгебраических действиях над ними. Некоторое число элементарных теорем и теорем, аналогичных соответствующим теоремам для функций действительного переменного, приводятся без доказательств. Основные теоремы доказываются или излагаются идеи, лежащие в основе их доказательств. [38]
Некоторые читатели могут испытать чувство неудовлетворенности потому, что доказательство Джиль-берта и Мак-Доннелла, подобно большинству других ( например, [22], стр. Было предложено несколько якобы прямых доказательств ( например, [17], стр. Это несложно понять, если вспомнить, что практически только самые элементарные теоремы доказываются полностью. Все остальные доказываются с помощью других, уже известных теорем, которые выстраиваются в ряд, ведущий к аксиомам. Нельзя, строго говоря, утверждать, что некое доказательство - прямое, если хоть одна из этих вспомогательных теорем имеет косвенное доказательство. Более того, некоторые из самых простых и самых основных теорем имеют косвенные доказательства; следовательно, если бы мы настаивали на абсолютно прямом доказательстве, то существующее великое множество теорем свелось бы к небольшому числу тривиальных. [39]
Важнейшим типом алгебраических систем с одной операцией являются группы. Это понятие обладает чрезвычайно широкой областью применений и служит предметом большой самостоятельной науки - теории групп. Настоящая гдлва может рассматриваться кал введение в теорию групп - в ней будут изложены элементарные сведения о группах, знакомство с которыми необходимо каждому математику; закончится глава одной менее элементарной теоремой. [40]
Сказанное здесь имеет целью хоть отчасти объяснить объем настоящей книги. Конечно, желая его сократить, можно было бы пойти по пути лаконичного изложения, но я сознательно от этого отказываюсь. Мне кажется, что в последнее время авторы математических работ слишком злоупотребляют словами легко видеть, в результате чего читатель часто не понимает доказательств теорем или упускает некоторые важные моменты. Особенно это относится к материалу главы I. В следующих главах содержатся уже более углубленные исследования по теории тригонометрических рядов; для их понимания иногда требуются дополнительные сведения. Для удобства читателей доказательства ряда теорем, на которые я ссылаюсь в тексте, помещены в Добавлениях. Во Вводный материал отнесены некоторые весьма элементарные теоремы из анализа, теории рядов и теории функций, которыми я пользуюсь в тексте систематически; я даю ссылки на наиболее употребительные учебники, где можно найти их доказательства. Вводный материал написан в виде отдельных теорем, причем я не ставила себе целью их формулировать в самой общей форме, а лишь так, как это понадобится в дальнейшем тексте. [41]