Cтраница 3
Диссипация энергии сопровождается флуктуациями. На примере систем, изучаемых в этой и последующих главах, мы познакомимся с этим аспектом релаксации, который в более формальном виде выражен в так называемой флуктуационно-диссипационной теореме. Прежде чем рассматривать релаксацию атома и поля, обусловленную резервуаром гармонических осцилляторов ( бозонных) мод, рассмотрим общую теорию резервуара. [31]
Здесь - скорость затухания, связанная с добротностью Q резонатора соотношением v / Q. Выведите уравнения движения для соответствующих величин и затем решите их чтобы показать, что среднеквадратичные отклонения ( AXi) и ( ДХ2), где Xi ( а а) / 2 и Х % ( а - а) / 2г, увеличиваются благодаря диссипации ( флуктуационно-диссипационная теорема. Эту ситуацию можно рассматривать как случай бозонной моды, некоррелированной с полем резонатора, которая входит в резонатор через частично пропускающее зеркало, и следовательно добавляет некоррелированный шум. [32]
Заново добавлены параграфы о магнитных свойствах газов, о термодинамике вырожденной плазмы, о жидких кристаллах, о флуктуационной теории фазовых переходов второго рода и критических явлений. Существенно дополнены главы о твердых телах и о симметрии кристаллов, в частности - более подробным изложением теории неприводимых представлений пространственных групп в применении к физике кристаллического состояния. Переработаны и дополнены параграфы, посвященные флуктуационно-диссипационной теореме. [33]
Эти флуктуации связаны друг с другом и с поляризацией, которая описывает рассеяние. Зависящая от температуры амплитуда флуктуации вычисляется с помощью флуктуационно-диссипационной теоремы. Этот метод, в частности, удобен для расчета интенсив - НОстей рассеяния света поляритонами в конфигурации рассеяния вперед. Более подробное обсуждение этого метода приведено в гл. [34]
Два класса явлений могут показаться совершенно различными. Основной его постулат можно сформулировать следующим образом. Такая взаимосвязь более точно устанавливается, как сейчас будет показано, флуктуационно-диссипационной теоремой. [35]
Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуации состоит во введении в уравнения переноса случайных источников, описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями, а их решения описывают не только регулярное ( усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосогласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики - уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим, и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуации. [36]
Когда время t намного больше, чем время затухания - 1, распределение поля приходит к равновесию с осцилляторным тепловым резервуаром. В этом стационарном состоянии дисперсия принимает свое предельное значение тепл и распределение Гаусса центрировано в начале системы координат. Таким образом, поле передает свое первоначальное возбуждение в тепловой резервуар осцилляторов, но приобретает шум в процессе затухания. Это является проявлением флуктуационно-диссипационной теоремы, т.е. диссипация через тепловой резервуар осцилляторов сопровождается флуктуациями. Мы обсудим это в следующей главе. [37]
Использованные нами аргументы, так же как и следствия, которые из них получены, оказываются достаточно широко применимыми. Они справедливы для широкого класса линейных систем и даже для квантово-механических систем. С другим примером квантовой системы, которая подчиняется флуктуационно-диссипационной теореме, мы встретимся ниже, в разд. [38]
Формулы Грина - Кубо для коэффициентов переноса представляют собой лишь частный случай очень широкого класса соотношений, известных под названием флуктпуационно-диссипа-ционной теоремы. Первая теорема такого рода была получена Найквистом в 1928 г. в связи с теорией шумов в электрических цепях. Общая ее форма установлена Кэлленом и Вельтоном ( 1951 г.), которые указали на ее важную роль в статистической механике. Значение этой теоремы в первую очередь вытекает из чрезвычайной ее общности: при ее выводе необходимо лишь очень небольшое число допущений. Кроме того, она устанавливает очень красивую связь между равновесной и неравновесной статистической механикой. Наконец, она обеспечивает нас простыми формулами, позволяющими выражать микроскопические величины через макроскопические наблюдаемые. Флуктуационно-диссипационная теорема устанавливает связь между двумя на первый взгляд совершенно различными классами явлений, которую мы здесь рассмотрим. [39]
Допустим, что мы имеем ансамбль совершенно одинаково приготовленных изолированных систем. Квантовой теорией такой ансамбль называется чистым. Ясно, что все представители такого ансамбля эволюционируют в точности одинаковым образом и притом совершенно обратимо по времени. Совсем другая картина возникает в том случае, когда системы не изолированы от внешнего мира. В случае классического газа неизолированность означает просто возможность неупругих столкновений молекул газа со стенками. Неупругие столкновения приводят к силам вязкого трения газа о стенки. Эти силы производят дополнительное затухание звуковых волн, и согласно флуктуационно-диссипационной теореме приповерхностный слой газа должен генерировать дополнительный звуковой шум. Парные столкновения быстро, по закону ехр ( г / т), наращивают возмущения со временем. В результате, ансамбль систем становится как бы смешанным: его отдельные представители эволюционируют по разным траекториям фазового пространства. Соответственно, обратимость по времени полностью исчезает и описывать такой ансамбль можно лишь статистически. [40]