Cтраница 3
Как многие доказательства подобных теорем, оно состоит из двух частей. Мы построим число, являющееся, как выяснится во второй части, тем самым пределом, существование которого требуется доказать. [31]
Мы будем рассматривать (3.9) как интегральное уравнение, определяющее неизвестные меры р и тр. Большое число важных теоретических выводов можно получить непосредственно из (3.9), Мы отметим самую замечательную из подобных теорем в форме гримера, для того чтобы подчеркнуть, что она не используется в дальнейшем и представляет собой отклонение от основного изложения. [32]
Более точно, из теоремы § 3 о непрерывной зависимости решения от данных задачи сразу следует, что в условиях § 1 из устойчивости или асимптотической устойчивости решений ( для линейных уравнений не существенно указывать - каких) при начальной точке а а вытекает устойчивость аналогичного характера при начальной точке а. Представляется правдоподобным, что такая зависимость устойчивости от выбора начального момента времени имеет характер исключения; однако подобные теоремы для систем общего вида ( за исключением тривиального случая периодических систем) пока отсутствуют. [33]
Когда время входит явно в аналитические выражения сил и в уравнения связей, наложенных на систему, принцип последнего множителя, выведенный из общего правила, приложим также и к этому классу динамических задач. Есть даже несколько частных задач, для которых, хотя в них учитывается сопротивление среды, все же имеют место подобные теоремы; это, например, случай кометы, обращающейся вокруг Солнца в среде, сопротивление которой пропорционально некоторой степени скорости этой кометы. [34]
Эта теорема, однако, не утверждает, что для любого языка типа 1 существует детерминированный линейноограниченный автомат, который представляет этот язык. Вопрос о том, существует ли язык типа 1, не представимый детерминированным линеиноограниченным автоматом, остается пока открытым. Доказана лишь подобная теорема для бесконтекстных языков. [35]
Эффективность нейронных сетей устанавливается рядом так называемых теорем о полноте. Ранее в нестрогой формулировке была приведена одна из них. Рассмотрим еще одну подобную теорему. [36]
Для сравнения напомним, что не каждая полугруппа обладает единицей, однако если единица имеется, то она только од - на. С другой стороны, каждая полугруппа допускает вложение в полугруппу с единицей. И здесь имеет место подобная теорема. [37]
Не всегда утверждение теоремы записывается в приведенном выше условном виде. Иногда, например, утверждается, что объект с заданными свойствами существует. Самый естественный способ доказательства подобных теорем состоит в предъявлении явного метода для нахождения такого объекта. Предположив теперь, что десятичное представление числа х известно, мы легко найдем п с помощью описанного метода. [38]
К первым теоремам такого типа относятся те, в которых Е - подмножество пространства Rn, а отображение и: Е - - Е непрерывно. Так, например, теорема Брауэра ( § 0.5) устанавливает существование неподвижной точки в случае, когда Е - замкнутый единичный шар в Rn, а и - непрерывное отображение. Ясно, что в любой подобной теореме о неподвижной точке Е можно заменить любым его гомеоморфным образом. [39]
Как показано выше, для степенного ( в частности линейного) закона фильтрации не только функционалы R и Z), но и однозначно связанный с ними функционал Q ( расход через трубку тока) является монотонным функционалом поля фильтрационных сопротивлений: с увеличением локальных фильтрационных сопротивлений расход падает. Как частный случай отсюда получаются обе теоремы о вдавливании для расхода. Естественно возникает предположение, что подобные теоремы справедливы для общего случая, и лишь технические трудности препятствуют их доказательству. [40]
Лишь одна, первая, теорема из § 10 ( Непрерывность выпуклых функций) является важной для выпуклого анализа в целом. Любопытные теоремы о непрерывности и сходимости в основном интересны лишь сами по себе. Они применяются лишь в § 25 и 26 при выводе теорем непрерывности и сходимости субдифференциалов и градиентных отображений выпуклых функций, а также в § 35 при выводе подобных теорем для седловых функций. [41]
Эта теорема может пригодиться, если Вам нужно заплатить кассиру один рубль. Вы легко подбираете фигурирующие в теореме множители тип. Подобные теоремы сравнительно легко доказываются. [42]
Если действующее на частицу ( или на систему частиц) внешнее поле не зависит от времени, то оператор Н не содержит времени /, и поскольку он, очевидно, коммутирует сам с собой, то энергия является интегралом движения. Таким же образом получим, что если составляющая поля по оси х равна нулю, то оператор Н не зависит от х ( так как дУ / дх 0) и коммутирует с ( рх) опер, а потому интегралом движения является составляющая вектора импульса. Этот результат аналогичен подобной теореме в классической механике. [43]
Были проведены эксперименты с использованием и более слабого понятия подобия, в которых сравнивалось только число различных вхождений в обеих частях выражений. При этом испытании не совершаются упомянутые выше ошибки второго рода, и теорема (2.07) с использованием этого испытания доказывается подстановкой. Однако в остальном такая модификация весьма незначительно отразилась на результатах работы ЛТ. На примере 10 задач она дала лишь на 10 % больше подобных теорем и приблизительно на 10 % больше подобных подзадач. Причина, по которой эти два испытания не отличаются более основательно, состоит в том, что среди критериев, используемых для определения подобия, существует большая корреляция. [44]
Но уравнения эти, к несчастью, нельзя вывести из векторной алгебры при помощи каких-либо легких подстановок, так что вам придется учить их как что-то новое. Одна из этих интегральных формул практически тривиальна, а другие две - нет. Мы выведем их и поясним их смысл. Эти формулы фактически являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, но и при разработке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы - все равно что теорема о сохранении энергии для механики частиц. Подобные теоремы общего характера очень важны для более глубокого понимания физики. Но вы увидите, что, за немногими простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. [45]