Cтраница 3
Пусть В есть некоторая отличная от А точка твердого тела. Если скорость ее равна нулю, то движение тела есть мгновенное вращение вокруг прямой АВ в силу предшествующей теоремы, и предложение, таким образом, доказано. В противном случае скорость v точки В перпендикулярна к прямой АВ, и скольжение этой прямой равно нулю. Скорость и точки С перпендикулярна к АС. Две плоскости П и П пересекаются по прямой AR. Я утверждаю, что скорость любой точки твердого тела, лежащей на прямой AR, равна нулю, и следовательно, в силу предшествующей теоремы, мгновенное движение тела есть вращение вокруг AR. [31]
Если сначала сообщим телу перемещение а, то после этого оно должно будет только повернуться вокруг точки О. Поэтому, в силу предшествующей теоремы, оно может быть переведено в свое новое положение вращением и вокруг оси, проходящей через точку О, что и доказывает предложение. Поступательное перемещение и зависит от выбора точки О, вращение же о остается одним и тем же при любом выборе этой точки. [32]
Докажем, что в этом интеграле можно F ( tp) заменить через / ( о) - Действительно, мы знаем, что F ( дг) разнится от f ( x) разве лишь в совокупности Ех с мерой нуль. Если Et имеет меру нуль, то замена F через / не может изменить интеграла. Но и в противном случае дело обстоит так же, ибо тогда, в силу предшествующей теоремы, 9 С1 равна нулю почти везде в Е, так что подинтегральная функция от указанной замены потерпит изменение разве лишь в совокупности точек с мерой нуль. [33]
Пусть В есть некоторая отличная от А точка твердого тела. Если скорость ее равна нулю, то движение тела есть мгновенное вращение вокруг прямой АВ в силу предшествующей теоремы, и предложение, таким образом, доказано. В противном случае скорость v точки В перпендикулярна к прямой АВ, и скольжение этой прямой равно нулю. Скорость и точки С перпендикулярна к АС. Две плоскости П и П пересекаются по прямой AR. Я утверждаю, что скорость любой точки твердого тела, лежащей на прямой AR, равна нулю, и следовательно, в силу предшествующей теоремы, мгновенное движение тела есть вращение вокруг AR. [34]
Прежде всего за фундамент рассуждений он взял три предложения, названные им леммами: I. Теорему о том, что непрерывная функция принимает по крайней мере один раз всякое промежуточное значение между двумя ее заданными значениями; II. Теорему о не более чем счетности множества непересекающихся интервалов на прямой; III. Каждое из этих предложений было тогда доказано таким образом, что хотя рассуждения и не содержали явного использования аксиомы выбора, но она необходимо присутствовала в них или в форме какого-либо эквивалента, или в форме пробела в рассуждениях. И Кантор неоднократно пользуется ими. Кроме того, он обращался к предшествующим теоремам данной статьи, доказательства которых, как было сказано несколько выше, тоже опирались на эту аксиому. [35]