Cтраница 3
В теории вероятностей имеется большое количество теорем как первого, так и второго рода. Было выяснено, что теоремы первого рода ( так называемые локальные предельные теоремы) не дают наиболее коротко формулирующихся результатов. Теоремы второго рода ( называемые интегральными предельными теоремами) более просты по формулировкам, не говоря уж о доказательствах. В данной книге, ориентированной на приложения теории вероятностей, мы останавливаемся на более простых интегральных предельных теоремах, так как лишь очень редко может встретиться такая практическая ситуация, в которой играет какую-то роль различие между интегральными и локальными теоремами. [31]
Однако для целочисленных характеристик более точное описание предельного поведения ее распределения давало бы указание локального поведения этого распределения, то есть поведения вероятностей отдельных значений этой характеристики. Поэтому для целочисленных случайных величин особое значение имеют так называемые локальные предельные теоремы. [32]
В заключение настоящего параграфа мы приведем еще краткую историческую справку о дальнейшем развитии учения о предельных теоремах после первых открытий Ляпунова и Маркова. Развитие это продолжалось ( и продолжается до сих пор) в следующих основных направлениях: 1) распространение предельных теорем на многомерные случайные величины ( случайные векторы); 2) установление локальных предельных теорем ( непрерывного и дискретного типа); 3) распространение предельных теорем на суммы взаимно зависимых случайных величин; 4) изыскание наиболее широких ( необходимых и достаточных) условий применимости предельных теорем; 5) уточнение оценки остаточных членов. [33]
Хотя Чебышевым [ I ] и Эджевортом [1] были введены формальные разложения, рассмотренные в этой главе, вопросы об асимптотических разложениях берут начало от фундаментальных работ Крамера [1-3] ( гл. VII), где получены первые важные результаты. Для ознакомления с первой локальной предельной теоремой, когда рассматриваемые случайные величины неодинаково распределены, читателю можно рекомендовать монографию Хннчина [3], где имеются важные приложения этой теоремы к статистической механике. [34]
Позднее неоднократно две замечательные его теоремы, к формулировке и доказательству которых мы и перейдем, находили применения и широкие обобщения. Первая из них получила наименование локальной предельной теоремы. [35]
В случае, когда распределения слагаемых одинаковы и не зависят от 7V, задача оценки вероятностей P SW - ПРИ N - схэ полностью решена. Если существует такая последовательность центрирующих и нормирующих постоянных AN и Ду, что распределения случайных величин ( SN - AN) / BN слабо сходятся к некоторому невырожденному распределению, то предельное распределение имеет плотность. Более того, на решетке с шагом, равным максимальному шагу распределения слагаемого, справедлива локальная предельная теорема. Если максимальный шаг распределения слагаемого равен единице, то локальная теорема справедлива на решетке целых чисел. [36]
Пополнение арсенала моделей теории вероятностей на алгебраических структурах является актуальной задачей как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. Усилия в этом направлении предпринимались и продолжают предприниматься наряду с дальнейшим развитием результатов по схеме суммирования случайных величин. В настоящей работе рассматривается ряд вопросов, связанных со случайными линейными формами на векторных пространствах над конечным полем, включая получение производящих функций и локальных предельных теорем для ряда характеристик указанных форм. [37]
Для оценки микроканонической дисперсии D ( 31) мы должны найти асимптотические выражения для микроканонических средних аг и aras чисел заполнения и их попарных произведений. Мы можем при этом предвидеть, что эти асимптотические выражения нам придется брать достаточно точными, так как естественно ожидать, что в разностях ага - Qras Ряд главных членов взаимно уничтожится. И действительно, например, та точность, с которой мы определяли числа аг в § 4 и которая нам там представлялась вполне удовлетворительной, теперь была бы уже совершенно недостаточной для нашей цели. Поэтому асимптотический расчет этих чисел мы должны произвести заново, на более точной базе; известные формы локальной предельной теоремы представляют нам для этого все необходимые основания. I теперь уже недостаточна для нашей цели, и мы должны воспользоваться более точной формулой ( 27) того же параграфа. [38]