Cтраница 1
Теория доказательств - раздел математической логики, посвященный исследованию понятия доказательства в математике, приложениям этого понятия в различных разделах науки и техники. [1]
В теории доказательств выработаны стандартные приемы формализации содержательных математических теорий. Аксиомы и правила вывода исчислений обычно делятся на логические и прикладные. Логические постулаты служат для получения высказываний, истинных независимо от формализуемой теории уже в силу своей формы. Такие постулаты определяют логику формальной теории и оформляются в виде исчисления высказываний или исчисления предикатов. [2]
В теории доказательств имеют значение также две общие схемы доказательств. [3]
Истоки теории доказательств можно проследить со времен античности ( дедуктивный метод рассуждения в элементарной геометрии, силлогистика Аристотеля и др.), но современный этап ее развития начинается в конце XIX - начале XX в. Cantor) были обнаружены антиномии, поставившие под сомнение достоверность даже простейших рассуждений с произвольными множествами. [4]
Подробное изложение теории доказательства правильности программ или их верификации, как обычно называют этот процесс, не входит в задачу этой книги. [5]
В литературе по теории доказательства теорем прямая цепочка рассуждений, как правило, ассоциируется с восходящим процессом, т.е. рассуждениями от фактов к целям, а обратная цепочка - с нисходящим процессом, рассуждением от целей к фактам. [6]
Ввиду плодотворного развития теории доказательств, имевшего место за время, истекшее после первого издания, настоящая книга, разумеется, уже не может претендовать на всесторонний охват современного состояния данной теории. Об этом специально говорилось в предисловии ко второму изданию первого тома. [7]
В первых гильбертовских публикациях по теории доказательств, а также в диссертации Аккермана термин функционал употреблялся в том смысле, в каком мы здесь говорим о термах. [8]
Доказательственное право является составной частью теории доказательств. [9]
Следующая теорема 1.8.7 является основной в теории доказательств. [10]
Кроме того, находясь на позициях теории доказательств, мы будем ощущать некоторую неудовлетворенность, если для системы ( Z) у нас будет только такое доказательство непротиворечивости, которое в сущности основывается на некотором истолковании какого-то формализма. [11]
Таким образом, в то время, как теория доказательства для приемлемости может расширять исходное множество гипотез АО с помощью некоторой защиты D ( как показано в примере 10.18), теория доказательства для ги / - приемлемости не расширяет АО, а продолжает строить ( вложенные) защиты до тех пор, пока для некоторой защиты не будет существовать ни одной атаки. Отметим, что в этом случае, как заключительная защита, так и каждая из ранних защит, являются / - приемлемыми и, следовательно, объединение всех таких защит также ги / - приемлемо. [12]
Во втором томе подробно излагаются и обсуждаются результаты теории доказательств, относящиеся к логическим исчислениям и к формализованной арифметике. Это известная теорема Эрбрана, дающая важный критерий выводимости формул в исчислении предикатов, теорема Черча о невозможности алгоритма, распознающего выводимые формулы исчисления предикатов, теорема Геделя о неполноте арифметических исчислений и различные доказательства непротиворечивости формализованной арифметики. Особую ценность представляет подробное обсуждение используемых при доказательстве непротиворечивости арифметики средств, выходящих за рамки первоначальной финитной точки зрения Гильберта. [13]
В настоящей книге дается детальное изложение современного состояния теории доказательств. Хотя достижения этой теории на сегодняшний день и очень скромны по сравнению с целями, которые она перед собой ставит, тем не менее в ней содержится много ярких результатов, точек зрения и идей, безусловно заслуживающих того, чтобы их довести до сведения читателей. [14]
Теперь мы перейдем к рассмотрению еще одного метода теории доказательств, разработанного Куртом Геделем3), а именно метода арифметизации метаматематики. [15]