Cтраница 2
Здесь три лаборатории: первая - общей логики и теории доказательств, вторая - теории множеств и оснований математики, третья - конструктивной математики, конструктивного анализа и конструктивной алгебры. [16]
Эти рассуждения без труда могут быть переложены с языка теории доказательств на язык теории моделей. [17]
Цель этой небольшой книги - изложить важнейшие из методов теории доказательств в интуиционистской логике. Эта теория сейчас не менее богата методами и результатами, чем, например, пользующаяся заслуженной известностью классическая теория моделей. [18]
Практически важное следствие этого свойства состоит в возможности построения такой теории доказательств, в которой использованные умолчания проявляются локальным образом. [19]
Детальному освещению работ советских ученых по вопросам математической логики и теории доказательства мы предпошлем этот параграф, как введение, задачей которого является обрисовать, хотя Ьы в самых общих чертах, идеологический смысл и значение разрабатываемых советскими учеными проблем. [20]
Проблема разрешимости для исчисления предикатов, рассматриваемая с точки зрения теории доказательств, - в дальнейшем мы будем интересоваться именно этим аспектом данной проблемы - касается исследования формул исчисления предикатов на предмет выяснения их выводимости. Общее решение этой проблемы должно было бы состоять в указании какого-либо общего метода, процедуры, с помощью которой относительно любой конкретной формулы исчисления предикатов можно было бы выяснить вопрос о том, является она выводимой в исчислении предикатов или же нет. [21]
Однократный акт такого рода не выглядит нарушением основных методических идей финитной теории доказательств. [22]
Некоторые исследователи ( Гефнер и Перл) интерпретируют аргу-ментационные системы как теории доказательства для семантики выводимости по предпочтению. Но успех предпочтительной семантики аргументационных систем определяется естественностью критериев для предпочтения моделей. Естественные критерии в свою очередь могут быть определены лишь для некоторых частных случаев, но еще необходимо показать, что они могут быть найдены для более общих аргументационных систем, например для тех, в которых допускаются индуктивные или абдуктивные аргументы. [23]
Особая роль аксиомы сводимости ясно видна и в современных исследованиях по теории доказательств. Имеется непроходимая грань между предикативными и непредикативными теориями. Последние оказываются значительно сильнее своих предикативных аналогов, причем это усиление носит трансцендентный характер: не видно никаких возможностей получить непредикативную теорию как конструктивный предел последовательности предикативных теорий. [24]
Однако когда Генцен показал, что с помощью некоторого обобщения методов теории доказательств - а именно, при использовании обобщенной индукции до первого е-числа - может быть доказана непротиворечивость арифметического формализма, Ак-керман обнаружил, что связанный с гильбертовским подходом метод при соответствующем расширении этого метода также может дать полное доказательство непротиворечивости. [25]
К 1923 г. он при содействии Бернайса далеко продвинулся в разработке теории доказательства и в докладе, сделанном на заседании Немецкого общества естествоиспытателей, предложил набросок этой теории. Он считал аксиому Цермело одним из самых важных математических предложений и задался целью доказать ее для случая произвольного семейства множеств действительных чисел, рассматривая такое доказательство как основное применение своей теории доказательства. [26]
Мы не будем здесь заниматься переводом всех этих исследований на язык финитной теории доказательств, хотя такой перевод и мог бы быть осуществлен во всех этих случаях. Мы ограничимся изложением методики этого перевода на примере одной теоремы, недавно доказанной И. [27]
Проблемы вывода логических следствий представляют собой основное содержание курсов математической логики и теории доказательства. Хотя, как известно, в наиболее интересных случаях задача разрешения неразрешима, тем не менее внимацие логиков все больше и больше привлекают такие фрагменты логических исчислений, где проблему разрешения удается решить. Как это сформулировал Н. А. Шанин, существуют два разных способа решения этой проблемы: один, который он называет алгорифм-оракул, и другой, который носит у него название интеллектуальный партнер [ с этой терминологией автор познакомился в докладах Н. А. Шанина по математической логике в Москве ( 1963 и 1964 годы), о ней также рассказывали Б. В. Бирюков и С. А. Яновская - участники Первого Всесоюзного симпозиума по проблеме машинного поиска логического вывода в гор. [28]
Лейбницем, ни Булем, ни Расселом, Более того, если формулировка гильбертовской теории доказательства и дала повод для мнения о полной формализации логики ( достаточно популярного в наше время), то уже знаменитая теорема Геделя ( см. [9, 10]), с одной стороны, противопоставляемые гильбертовской интуиционистские и конструктивистские альтернативные программы [11, 12], с другой, и, наконец, стимулируемые этими идеями успешные поиски новых методов дедукции, отвечающих критерию строгой формальности 4, с третьей, показали со всей убедительностью, что процесс этот не завершен и до сих пор. [29]
Ввиду учебного характера книги, несмотря на названия Теория множеств, Теория моделей, Теория доказательств и Алгорит-мы и рекурсивные функции, соответствующие главы, конечно, содержат лишь малую часть содержания этих больших разделов современной математической логики. Как и принято в учебниках, большинство результатов приведено в данной книге без указания авторов. [30]