Cтраница 1
Теория идеалов этих колец особенно проста. Прежде всего, здесь все примерные идеалы, кроме нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных ненулевых простых идеалов также взаимно просты. Наконец, примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно простых однократных примарных идеалов. [1]
Теория идеалов дает способ вычислить целые алгебраические числа Я и / / или показать, что таковых нет. [2]
К теории идеалов в коммутативных кольцах без делителей нуля относится лишь работа А. И. У з к о в а [4], в которой показано, что введенное Ван-дер - Варденом ( Современная алгебра, § 103) понятие эквивалентности идеалов является единственным, при котором справедлива теорема об однозначности разложения всякого класса эквивалентных идеалов в произведение степеней простых классов. [3]
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. [4]
Развить теорию односторонних матричных идеалов, рассматривая детерминантные суммы только относительно строк ( или столбцов), и найти приложения этого понятия. [5]
К аддитивный теории идеалов в кольцах, модулях, группоидах. [6]
Другой исток теории идеалов лежит в алгебраической геометрии. Уже при первоначальном ознакомлении с теорией кривых 2-го порядка обычно вызывает удивление, что единой кривой гиперболой называют совокупность двух не связанных друг с другом кривых - ветвей гиперболы - и что в то же время пару прямых называют распадающейся кривой 2-го порядка. Это различие в терминологии находит объяснение в алгебре: если уравнения кривых рассматривать в виде / ( я, у) 0, где i ( х У) - многочлен от я, у, то в перйом случае левая часть этого уравнения будет неприводимым многочленом второй степени, а во втором - произведением двух сомножителей первой степени. Кривую, уравнение которой можно представить при помощи неприводимого многочлена / ( я, у), называют неприводимой, а в противном случае - приводимой. [7]
Основная теорема теории идеалов состоит в том, что всякий идеал может быть единственным образом представлен в виде произведения простых идеалов. В частности, всякий главный идеал, иначе говоря, всякое целое число области единственным образом разлагается на произведение простых идеалов. Таким образом в известном смысле алгебраическим числам присуща, при этом расширенном их понимании, однозначность разложения на простые множители. [8]
Естественный ответ дает теория идеалов. Совокупность точек пространства ( комплексного), координаты которых обращают все данные многочлены в нуль, называется алгебраическим многообразием, определяемым данными многочленами. Оказывается, что в то время как различные совокупности многочленов могут определять одно и то же алгебраическое многообразие, соответствие между многообразиями и идеалами с упомянутым дополнительным свойством является взаимно однозначным. [9]
Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал Sft-порядка с не имеет делителей. [10]
Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал ЭЯ-порядка с не имеет делителей. [11]
Он обсуждает также связи с теорией идеалов квадратичных числовых колец. [12]
С осени 1914 г., не оставляя вопросов теории идеалов и теории Галуа, Б. Н. Делоне поставил себе целью найти полное решение бинарных неопределенных уравнений 3-го порядка. Решению этой задачи могли содействовать работы Вороного и Дирихле, относящиеся к кубическим уравнениям и выяснившие ряд вопросов в теории кубического поля. [13]
Мурата [38] продолжает распространение на полугруппы результатов Асано по арифметической теории идеалов в некоммутативных кольцах. [14]
У з к о в а [ 51 посвящена построению мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах, принадлежащую Нетер, и теорию идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом, Артином и Дойрингом, причем А. И. Узкое распространил последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечного ранга. [15]