Cтраница 2
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. [16]
В виде приложения в этом же курсе помещена статья ученика Граве В. П. Вельмина, содержавшая интересное изложение теории идеалов квадратичной области. [17]
Дадекинда - Фробениуса, связывающей группу Галуа с разложением на идеальные множители; Делоне предложил ему доказать эту теорему независимо от теории идеалов, это доказательство автор изложил осенью 1916 г. на заседании семинара. [18]
Абстрактное, формальное или аксиоматическое направление, которому алгебра обязана своим новым подъемом, привело к новым понятиям и результатам в теории групп, теории полей, теории нормирований, теории идеалов и теории алгебр и позволило по-новому взглянуть на внутренние связи в этой области. [19]
В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей сравнение ( а) 0 ( ( 6)) означает не что иное, как равенство а rb, и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обычное понятие делимости элементов. [20]
Делимость целых чисел данной области определяется совершенно так же, как для целых рациональных чисел. Куммером та теория идеалов, к изложению основ которой мы сейчас переходим. [21]
Глава Общая теория идеалов расширена путем введения важных теорем Крулля о символических степенях простых идеалов и о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между теорией идеалов алгебраически замкнутых колец и теорией нормирований. В главу Линейная алгебра введен раздел об антисимметрических билинейных формах. [22]
Кольцо частных, которое мы вновь обозначим через о, содержит единицу и не имеет делителей нуля. При переходе к кольцу частных теория идеалов в о существенно упрощается, что облегчает дальнейшее доказательство. [23]
У з к о в а [ 51 посвящена построению мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах, принадлежащую Нетер, и теорию идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом, Артином и Дойрингом, причем А. И. Узкое распространил последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечного ранга. [24]
Так, появились теория полей алгебраических чисел и полей алгебраических функций и связанная с ней теория идеалов. [25]
У з к о в а [ 51 посвящена построению мультипликативной теории идеалов в некоммутативных кольцах: в кольце с единицей: отмечается некоторое подкольцо центра, по отношению к этому подкольцу определяются порядки и идеалы и указываются необходимые и достаточные условия для однозначной разложимости двусторонних и односторонних идеалов в произведение степеней простых идеалов. Эта теория содержит в качестве частных случаев мультипликативную теорию идеалов в коммутативных кольцах, принадлежащую Нетер, и теорию идеалов в полупростых алгебрах конечного ранга, построенную Брандтом, Артином и Дойрингом, причем А. И. Узкое распространил последнюю теорию на случай произвольных алгебр конечного ранга. [26]
Алгебра в новом понимании, то есть то, что стали называть в двадцатые годы современной алгеброй, а теперь уже снова называют просто алгеброй, стала самостоятельной дисциплиной в течение нескольких лет. Нетер ( 1882 - 1935) совместно со своими учениками в Геттпнгене строит общую теорию коммутативных колец, теорию идеалов и модулей над кольцами, подвергает систематическому изучению основные проблемы некоммутативной алгебры. Все-упомянутые алгебраические структуры изучаются на основе определяющих их аксиом, независимо от природы входящих в них элементов. Программно воспринимались уже самые названия работ Нетер: Абстрактное построение теории идеалов в алгебраических числовых полях ( 1923), Некоммутативная алгебра ( 1933) и др. В атом направлении интенсивно развиваются исследования советских алгебраистов, группирующихся в двадцатые годы вокруг О. Ю. Шмидта ( 1891 - 1956), известного также как полярный исследователь и геофизик, молодых голландских, американских, французских математиков. Венль п другие математики одного поколения с Негер, но опа до своей кончины остается признанным главой алгебраистов. [27]
Следующим основным принципом служит требование, согласно которому каждая отдельная часть должна быть, по возможности, понятной сама по себе. Тому, кто хочет познакомиться с общей теорией идеалов или теорией алгебр, не нужно предварительно изучать теорию Галуа, а тот, кто хочет справиться о чем-либо в линейной алгебре, не должен пугаться сложных построений теории идеалов. [28]
Существуют целостные кольца о с единицей, в которых ( имеет место теорема о цепях делителей и) каждый отличный от нуля простой идеал не имеет делителей. Например, к числу таких колец относятся кольца главных идеалов ( ср. Теория идеалов этих колец особенно проста. Прежде всего, здесь все примерные идеалы, кроме нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных ненулевых простых идеалов также взаимно просты. Наконец, примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно простых однократных примарных идеалов. [29]
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. В то время как основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является определение корней и установление необходимых и достаточных условий для принадлежности некоторого многочлена заданному идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным является вопрос о разложении на множители. [30]