Cтраница 3
Разложение алгебраических функций на простые идеалы, а также некоторые применения идеалов алгебраических функций в геометрии, анализе, теории чисел кратко изложены в работе идеальш модул. Дальнейшее развитие эта тема ло-лучает в статье Арифметична теор. Здесь Граве обращается к обоснованию Кронекера теории идеалов при помощи трансцендентного расширения. При этом ему удается добиться значительного упрощения этой теории по сравнению с лучшим в то время ее изложением у Вебера. Далее Граве приводит одно обобщение теоремы Акселя Туе [153] и рассматривает вопрос об обобщении алгоритма Вороного [151] нахождения основных алгебраических единиц произвольного кубического поля на случай полей высших степеней. [31]
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов в кольцах многочленов. В то время как основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является определение корней и установление необходимых и достаточных условий для принадлежности некоторого многочлена заданному идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным является вопрос о разложении на множители. [32]
Это был первый том задуманного обширного труда, который должен был содержать еще четыре отдельных курса: 1) общая теория идеалов ( Граве читал в 1910 - 1911 гг.); 2) деление круга ( задача Ферма); 3) кубическая область ( алгоритм Вороного): 4) комплексное умножение. В первом томе при изложении квадратичной области автор придерживался классической теории Гаусса, модернизируя ее, где возможно, но не отступая в сторону теории идеалов. Граве сделал это, чтобы, вводя читателя в широ-кую область современной теории чисел, не оставлять его в неведении относительно классических методов основателя всей этой науки и еще потому, что теория идеальных чисел при всем ее первостепенном значении в науке не есть единственное обобщение теории квадратичных форм. Это есть то обобщение, которое имело дело с формами разложимыми. Существуют уже серьезные обобщения гауссовой теории в сторону квадратичных форм с большим числом переменных. [33]
Алгебра в новом понимании, то есть то, что стали называть в двадцатые годы современной алгеброй, а теперь уже снова называют просто алгеброй, стала самостоятельной дисциплиной в течение нескольких лет. Нетер ( 1882 - 1935) совместно со своими учениками в Геттпнгене строит общую теорию коммутативных колец, теорию идеалов и модулей над кольцами, подвергает систематическому изучению основные проблемы некоммутативной алгебры. Все-упомянутые алгебраические структуры изучаются на основе определяющих их аксиом, независимо от природы входящих в них элементов. Программно воспринимались уже самые названия работ Нетер: Абстрактное построение теории идеалов в алгебраических числовых полях ( 1923), Некоммутативная алгебра ( 1933) и др. В атом направлении интенсивно развиваются исследования советских алгебраистов, группирующихся в двадцатые годы вокруг О. Ю. Шмидта ( 1891 - 1956), известного также как полярный исследователь и геофизик, молодых голландских, американских, французских математиков. Венль п другие математики одного поколения с Негер, но опа до своей кончины остается признанным главой алгебраистов. [34]
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциатнвным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел ( включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук, в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца. [35]
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на о; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал а Ф о делится на некоторый простой идеал, не равный о ( доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных Р, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазираьным о. Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 -что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории. [36]
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый ненулевой простой идеал делится только на себя и на о; следовательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так как каждый идеал а Ф о делится на некоторый простой идеал, не равный о ( доказательство: найдем среди делителей идеала а, не равных о, наибольший; он будет свободен от делителей и, следовательно, простой), то а не может быть квазираьным о. Тем самым единичный класс состоит из одного лишь единичного идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 -что равносильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной здесь теории. [37]
Этому способствовал и приход Граве в Киев и тот тесный творческий и личный контакт, который поддерживали киевские математики с петербургскими. Однако Киевская школа, сложившаяся в конце первого десятилетия XX в. Многие молодые ученые, именно в Киеве, впервые начали серьезно заниматься исследованиями по новейшим вопросам алгебры - теории групп, теории алгебраических чисел, теории идеалов, рассматривать вопрос, об объединении высших областей теории чисел с алгеброй и теорией функций. Эти вопросы в большинстве своем не были свойственны традиционной тематике Петербургской школы. [38]
Ласкера - Маколея, казавшуюся ранее сугубо вычислительной и громоздкой. Ею было дано также ак-сиоматич. Artin) изучает кольца с условием минимальности - артиновы кольца; X. Grell) вводит понятие локализации целостного кольца - операции, обобщенной затем К. Крулль доказывает теорему о главном идеале, положившую начало теории размерности нетеровых колец, а также теорему о пересечении степеней идеала в нетеровом кольце, являющуюся основой при изучении 21-адических топологий. Теория дивизо-риальных идеалов ( 1931) и теория нормирования обобщают более ранние исследования К. Наконец, следует упомянуть теорему Нетер о нормализации, выяснение роли понятия целой зависимости в рамках общей теории коммутативных колец, а также теоремы Крулля о подъеме простых идеалов для целых расширений. [39]