Cтраница 1
Теория интеграла Лебега - Стильтьеса от функций одного переменного, развитая в главе 7, может быть непосредственно обобщена на функции п переменных. [1]
Без теории интеграла Лебега многие теоремы о свертке трудно даже сформулировать. [2]
Без теории интеграла Лебега многие теоремы о свертке было бы затруднительно даже сформулировать. [3]
Известно, что теория интеграла Лебега связана с аксиомой выбора. Но интеграл Лебега служит основой для введения пространства Z / 2, а оно оказалось нужным в квантовой механике. Так что способы рассуждений, ведущие к аксиоме выбора, не миновали и описаний квантовых явлений. В подходе фон Неймана к обоснованию квантовой механики она содержится, например, в его допущении [ 2, с. [4]
Изложение опирается на теорию интеграла Лебега. Сама теория интеграла Лебега излагается в конспективной манере. Определяется понятие меры, приводятся определения измеримого множества и интеграла Лебега относительно меры, доказывается теорема о построении меры по внешней мере. Дается вывод основных теорем теории интеграла Лебега ( теоремы о предельном переходе и теорема Фубини. Изложение ориентировано на творчески работающего читателя. Восполнение второстепенных деталей в рассуждениях авторов во многих случаях предлагается читателю в качестве упражнений. [5]
Чтобы не пользоваться теорией интеграла Лебега, ограничимся определениями математического ожидания для случайных величин, заданных на дискретном и абсолютно непрерывном вероятностных пространствах ( см. § 6 гл. [6]
Читатель, знакомый с теорией интеграла Лебега, может употреблять интегралы Лебега. [7]
Это следует из теоремы Фубини из теории интеграла Лебега. [8]
Для того чтобы дать полное изложение теории интеграла Лебега, необходимо рассматривать измеримые множества, а не только борелевские множества. Однако, как указано в параграфе 4.7, ограничение борелевскими множествами вполне достаточно для наших целей. [9]
Из сказанного выше следует, что в теории интеграла Лебега часто можно пренебрегать множествами меры нуль. [10]
Предполагается, что читателю известны элементы теории функций и теории интеграла Лебега. Это, конечно, не означает, что без такой подготовки читатель не сможет понять эту книгу: он должен будет лишь некоторые теоремы принять без доказательства или ограничиться изучением тех более элементарных разделов, в которых предполагаются известными только дифференциальное и интегральное исчисления и аналитическая геометрия гл. [11]
Первоначально я хотел написать исчерпывающий трактат, начинающийся с изложения элементов теории интеграла Лебега и содержащий / 2-теорию рядов Фурье, теорему План-шереля, интеграл Фурье, периодограммы и, наконец, теоремы тауберова типа. [12]
Наличие меры ( i на 0-алгебре 21 позволяет ввести ряд новых ( полезных в теории интеграла Лебега) понятий. А: f ( x) f g ( x) является подмножеством множества jx - меры нуль. Эквивалентность функций обозначается так: f - g на А или / ( x) g ( х) на А. Если две функции / и g, заданные на измеримом множестве А, эквивалентны, то они одновременно измеримы. [13]
Лосса Анализ излагаются некоторые избранные вопросы современного математического анализа, а именно, введение в теорию интеграла Лебега и теорию пространств Lp, преобразование Фурье, введение в теорию обобщенных функций и другие. По большинству вопросов, рассматриваемых в книге, на русском языке были опубликованы в свое время обширные монографии. Имеются также и учебные руководства, посвященные изложению отдельных тем, которые рассматриваются в книге. Однако в настоящее время практически все эти издания стали библиографической редкостью. [14]
Мы не даем формального определения - мерного интеграла Стилтьеса, во-первых, потому что фактически будем рассматривать только дискретные и непрерывные случайные величины и, во-вторых, потому что, по существу, для теории вероятностей нужна не общая теория интегралов Стилтьеса, а теория абстрактного интеграла Лебега ( см. об этом подробнее в гл. [15]