Cтраница 2
Мы не даем формального определения n - мерного интеграла Стилтьеса во-первых, потому, что фактически будем рассматривать только дискретные и непрерывные случайные величины и, во-вторых, потому, что, по существу, для теории вероятностей нужна не общая теория интегралов Стилтьеса, г теория абстрактного интеграла Лебега ( см. об этом подробнее-гл. [16]
Точно так же случайная величина представляет интерес лишь с точностью до ее изменения на любом фиксированном множестве вероятности нуль. В теории интеграла Лебега мы видели, что измеримые функции, отличающиеся на множестве р - нулевой меры, имеют одинаковые интегралы, а вес свойства интеграла сохраняются, если соответствующие требования на функции накладывать не на всем множестве Q, а на любом его подмножестве, дополнение к которому имеет ц-меру нуль. [17]
Изложение опирается на теорию интеграла Лебега. Сама теория интеграла Лебега излагается в конспективной манере. Определяется понятие меры, приводятся определения измеримого множества и интеграла Лебега относительно меры, доказывается теорема о построении меры по внешней мере. Дается вывод основных теорем теории интеграла Лебега ( теоремы о предельном переходе и теорема Фубини. Изложение ориентировано на творчески работающего читателя. Восполнение второстепенных деталей в рассуждениях авторов во многих случаях предлагается читателю в качестве упражнений. [18]
Эти предположения не являются ограничительными с физической точки зрения. Более общее изложение требует привлечения теории интеграла Лебега. [19]
Существует большое число работ, посвященных современной теория интегрирования. Книга Валле-Пуссена дает прекрасное введение в теорию интеграла Лебега и содержит также несколько глав относительно аддитивных функций множества, в то время как другие две книги углубляются в более трудные части теории. [20]
Последовательное и подробное изложение делает книгу доступной для первоначального чтения. Предполагается лишь, что читатель знаком с основами теорий интегралов Лебега и Лебега - Стиль-тьеса. Вместе с тем имеющийся в книге свежий материал, а также постановка ряда проблем представят большой интерес и для специалистов - математиков. [21]
Интегралы Лебега по множествам, лежащим в многомерных пространствах, как и в классическом анализе, могут вычисляться, с помощью сведения к повторным интегралам. Как мы увидим ниже, окончательный результат в этом направлении имеет в теории интеграла Лебега более законченный вид, чем для интегралов Римана. [22]
Настоящее шестое издание четвертого тома существенно отличается от пятого издания. Это связано с тем, что четвертый том впервые печатается после изменения второго тома, в котором изложена теория интеграла Лебега и класс L2 функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу. Это повлекло изменение изложения первой главы IV тома - теории интегральных уравнений. Кроме того, добавлена третья глава, содержащая изложение новых точек зрения на некоторые основные понятия математического анализа. Вторая глава ( вариационное исчисление) несколько расширена. В третьей главе уже с новых точек зрения рассмотрена задача о минимуме квадратичного функционала. [23]
Разумеется, корректность определения ( существование предела и его независимость от выбора последовательности / п) должна быть установлена. Этим, наряду с массой других вопросов ( признаки интегрируемости, предельные переходы под знаком интеграла и т.п.), занимается теория интеграла Лебега. [24]
Не надо забывать и о том, что многие вопросы, вызывающие затруднение на одной ступени обучения, делаются простыми и легко понятными на более высокой. Так, например, при изучении интеграла Римава формулу интегрирования по частям целесообразно излагать для гладких или, по крайней мере, для кусочно гладких функций, а не для функций, имеющих интегрируемые по Риману производные, так как последнее без всяких затруднений будет получаться из теории интеграла Лебега. [25]
Не надо забывать и о том, что многие вопросы, вы -, зывающие затруднение на одной ступени обучения, делаются простыми и легко понятными на более высокой. Так, например, при изучении интеграла Римана формулу интегрирования по частям целесообразно излагать для гладких или, по крайней мере, для кусочно гладких функций, а не для функций, имеющих интегрируемые по Риману производные, так как последнее без всяких затруднений будет получаться из теории интеграла Лебега. [26]
Как было показано в § 3.4, совокупность обобщенных функций содержит, в частности, и непрерывные функции. Покажем теперь, что она охватывает также значительно более широкий класс функций, а именно все локально интегрируемые функции. Читатель, не знакомый с теорией интеграла Лебега, может пропустить § 3.5 и 3.6, касающиеся этих функций. [27]
Римапу, то они считаются равными, если их значения совпадают во всех общих точках непрерывности. Интегрируемые но Лебегу функции считаются равными тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые значения почти всюду. Следует отметить, что это то самое определение равенства, которое обычно принимается в теории интеграла Лебега. [28]
Книга разбита на две части. Вся теория множеств, начиная с общей теорий ( операции над множествами, вопросы взаимно однозначного соответствия и мощности) и кончая теорией меры Лебега, заключен в первой части. Вторая часть посвящена теории функций, начиная с общих вопросов, связанных с отображениями множеств, и кончая теорией интеграла Лебега в евклидовом пространстве. [29]
Эта теорема доказывается во всех учебниках дифференциального и интегрального исчислений. А если сходимость неравномерная, может ли быть переход к пределу под знаком интеграла. Оказывается, что в некоторых случаях может, но для обоснования этого требуется более общая теория интеграла, так называемая теория интеграла Лебега, не излагаемая, как правило, в вузовских курсах математического анализа. [30]