Cтраница 2
Главное экстремальное свойство многочленов Тп ( х) - наименьшее уклонение от нуля на сегменте [-1,1] - очень удачно используется в теории интерполяции и в квадратурных формулах. Именно поэтому многочлены Чебышева первого рода рассматриваются почти во всех монографиях и учебниках по вычислительной математике. [16]
Ограничимся этими беглыми замечаниями о восстановлении функции и по ее таблице u h Подробное рассмотрение вопросов восстановления функции по ее таблице составляет предмет теории интерполяции. Мы будем заниматься только задачей вычисления таблицы u h Поэтому условимся считать, что задача ( 1) решена точно, если найдена сеточная функция u h - Однако нам не удастся вычислить ее точно. Вместо сеточной функции [ u ] h будем искать другую сеточную функцию u h которая сходится к [ u ] h при измельчении сетки. [17]
Как сказано в аннотации, эта книга отличается от аналогичных изданий глубоким проникновением теории приближений и функционального анализа в вычислительную математику, что позволило рассмотреть многие фундаментальные вопросы ( теорию интерполяции, численное дифференцирование, теорию механических квадратур, теорию разностных схем) с единых позиций. К этому можно добавить главную характерную деталь: в первом параграфе первой главы подробно рассмотрены свойства ортогональных многочленов. А далее в тексте ортогональные многочлены часто применяются в доказательствах и даже в формулировках результатов. [18]
К теории приближения функций примыкает теория интерполяции, разрабатывавшаяся в трудах П. Л. Чебышева и А. А. Маркова преимущественно для функций действительного переменного. Вопросы теории интерполяции, специфические для аналитических функций комплексного переменного, получили существенное развитие в работах А. О. Гельфонда, В. Л. Гончарова и других советских ученых. [19]
Ответ на него ведет к теории интерполяции. [20]
Из многочисленных работ советских математиков по теории интерполяции упомянем еще исследования Л е-вина ( 1940), в которых он рассматривает условия представимости целой функции по формуле, являющейся аналогом известной интерполяционной формулы Лагранжа. [21]
Теоремы, которые устанавливают интерполяционность одной тройки банаховых пространств относительно другой, называются интерполяционными теоремами. Риссом и Ториным, и вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Здесь приводится общая формулировка этой первой интерполяционной теоремы. [22]
Несколько позднее, но независимо от А. Н. Колмогорова, развил теорию интерполяции и экстраполяции стационарных случайных процессов. [23]
Приведенная нами схема в целом, а также в отдельных ее частях играет чрезвычайно существенную роль в нынешней теории интерполяции ( ср. В нее укладываются, по-видимому, все интерполяционные ряды, рассматриваемые Лапласом в [2, 5], и кое-где в своих рассуждениях Лаплас прямо эту схему предвосхищает. [24]
Задача интерполяции становится фундаментальным звеном в системе автоматизации проектно-конструкторских работ, где в самом существе проблемы заложены способы графического отображения информации. Проблема интерполяции не является новой, и в математической литературе классические методы изложены достаточно полно. Новым в последние десятилетия направлением в теории интерполяции является использование так называемых сплайновых интерполяций, описанию которых в основном и посвящена третья глава. [25]
После введения нескольких общих понятий теории интерполяции в § 6.1 мы определяем непрерывный интерполяционный метод, тесно связанный с вещественным ( 6, оо) - методом. Так как это не то определение метода непрерывной интерполяции, которое нам нужно для доказательства результатов о максимальной регулярности, мы отвели параграф для других эквивалентных описаний этого интерполяционного метода. В этом параграфе используется стандартная техника теории интерполяции. [26]
Кроме того, автор счел ненужным приводить элементарные сведения из теории интерполяции, так как обычно они хорошо известны уже студентам младших курсов. [27]
Книга посвящена одному из важных направлений функционального анализа - теории интерполяции линейных операторов. Излагаются основные методы построения интерполяционных пространств, изучаются их свойства. Эти методы позволяют с новых позиций взглянуть на ряд теорем и неравенств классического анализа. Теория интерполяции операторов имеет многочисленные приложения в теории рядов Фурье, в теории приближений, в теории уравнений в частных производных п др. Некоторые из них изложены в книге. [28]
Для достижения сходимости интерполяционного процесса решающее значение имеет правильный выбор системы узлов интерполяции и вида интерполяционного полинома. В то же время по теореме Фейера для заданной интерполирующей непрерывной функции можно подобрать систему узлов интерполяции, обеспечивающую сходимость процесса. Неправильный выбор системы узлов интерполяции может привести к расходящемуся процессу или к плохо обусловленной системе уравнений. При распространении этих положений теории интерполяции на методику выбора аппроксимирующей функции и систему точек граничной коллокации становится ясным, почему авторам, применявшим для выбора точек систему равноотстоящих узлов, не удавалось получить решение сложных, важных для практики задач. Проведенные исследования показали, что именно система равноотстоящих узлов дает наихудший результат, часто приводит к расходящемуся процессу. В то же время наличие точек коллокации в нулях полинома Чебышева первого или второго рода обычно обеспечивает возможность решения задач. [29]
Статьи Тиссерана опубликованные главным образом в Comptes rendus посвящены вопросам теории интерполяции связанным с теорией малых планетд наблюдениям солнечных пятен и другим астрономическим и математическим вопросам. [30]