Cтраница 1
Теория катастроф не сводится к одной логической нити; скорее она напоминает ткань с бесчисленными переплетенными нитями; тут и физическая интуиция и эксперимент, геометрия, алгебра и анализ, топология и теория особенностей отображений и многое другое. Эта ткань сама воткана в более сложную ткань - теорию динамических систем. [1]
Теория катастроф Во многих физических системах положения равновесия находят исходя из потенциала: приравнивая нулю производные потенциала по обобщенным координатам. Теория катастроф занимается изучением зависимости числа положений равновесия от параметров задачи, например от нагрузок в упругих системах. Теория катастроф предсказывает, что вблизи некоторых критических значений таких параметров число положений равновесия изменяется заранее известным образом и что эти изменения носят универсальный характер для некоторых классов потенциалов. Основателем теории ката строф принято считать французского математика Рене Тома. В строительной механике независимо развивался свой частный вариант теории катастроф, занимавшийся изучением чувствительности критических нагрузок с дефектами структуры. [2]
Теория катастроф уже начинает исчезать. То есть теория катастроф как связная система знаний с группой взаимно известных друг другу специалистов, работающих над ее проблемами, ускользает в прошлое, по мере того как ее методы более прочно входят в сознание научной общественности. Строго чистые математики из тех, кто нашел и доказал главные теоремы этого предмета, остались чистыми, перейдя в другие области, ближние или дальние, где еще нужно решать математические задачи. Имеется много областей для дальнейшей работы с ориентацией на приложения; сюда относятся эквивариантные катастрофы ( катастрофы с симметриями), связь между дифференцируемой и топологической эквивалентностями, использование бесконечномерных пространств состояний и многочисленные варианты элементарных катастроф, таких как катастрофы во времени Вассермана [112] и катастрофы с ограничениями, упомянутые в гл. Это лишь то, что наиболее тесно связано с элементарными катастрофами; но и вся область динамических систем и теории бифуркаций получает все возрастающее внимание. Потенциальные возможности для союза между мощными топологическими методами математиков и мощными численными методами ( такими как метод конечных элементов), используемыми исследователями-практиками, огромны. [3]
Теория катастроф, как и вообще анализ, дает числа. Она также дает ответы на топологические вопросы, а поскольку ее изобрели и впервые проповедовали топологи, именно на эти ответы и был сделан акцент. Как только она была понята учеными, которые мыслили в физических числах, вводили в нее физические числа и задавали ей численные вопросы, теория катастроф начала доставлять численные ответы. Это просто выражение общей точки зрения на математику в целом как на тавтологичную, нуждающуюся в гипотезах, чтобы производить заключения. Никакая математическая теорема никогда не дает информации в смысле теории информации - информации о том, что нечто, не обязательно верное, оказалось верным в данном случае - лишь эксперимент может это сделать. [4]
Теория катастроф [55] занимается изучением поведения динамических систем в области критических точек. Катастрофами называют резкие, скачкообразные изменения состояния динамической системы, происходящие при непрерывном изменении управляющих переменных, когда их значения попадают в область критической точки. [5]
Теория катастроф исследует скачкообразные переходные процессы любых систем из одного состояния в другое. [6]
Теория катастроф представляет собой аналитическую программу изучения и прогнозирования неустойчивости систем. Свое название она получила потому, что потеря устойчивости может быть катастрофична, даже если не приводит к разрушению системы, а лишь обусловливает переход к иному пути развития. Программа прогнозирования катастрофы в системе может быть построена на основе данных об изменениях и связи переменных, характеризующих поведение системы. [7]
Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин - топологии и математического анализа, ее источниками являются теория особенностей гладких отображений X. [8]
Теория катастроф с самого начала пыталась дать ответ на вопрос: почему при плавном изменении некоторых параметров динамические системы вдруг качественно меняют свою динамику. [9]
Теорию катастроф отличают общность и полнота, две характеристики, которые очень полезны при исследовании с позиций общей теории систем. [10]
Иногда теория катастроф позволяет дать неожиданную переформулировку классических результатов, и такая переформулировка часто оказывается полезной в качестве основы для дальнейшего продвижения вперед: чтобы пойти вперед, иногда бывает необходимо сначала отойти немного назад и пройти путь заново. Примером может служить недавняя работа Зимана по остойчивости судов. [11]
В теории катастроф предполагается, что поведением рассматриваемого процесса управляет некоторая потенциальная функция у, локальный минимум которой совпадает с точками равновесия системы. [12]
Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова. [13]
И здесь теория катастроф служит мощным новым оружием - как показывает вторая половина этой книги. Она не замещает прежние методы, а дополняет их. [14]
Литература по теории катастроф разнообразна и разбросана по самым разным изданиям, а требования к читателю сильно меняются от работы к работе как по тематике, так и по уровню. Мы прилагаем краткий путеводитель по некоторым из наиболее заметных работ. [15]