Cтраница 1
Теория меры излагается во многих учебниках4), и здесь едва ли целесообразно дублирование. Мы ограничимся несколькими замечаниями, которые полезно иметь в виду. [1]
Теория меры появляется вновь в другой связи. [2]
Теория меры, например меры длин, площадей, объемов, позволяет сопоставить областям неотрицательные числа, такие, что объединению двух непересекающихся областей сопоставляется сумма их мер. [3]
Теория меры нас привела в книге I, главе VI, к первообразным функциям, которые позволяют ввести некоторые площади. Мы вер - - немся к этому исследованию, уделяя основное внимание не областям и их мерам, а первообразным, как числовым функциям. [4]
Теория меры изучает семейства функций, отображающих пространство с мерой в другие пространства, отличные от первого или совпадающие с ним. С другой стороны, в теории вероятностей развивались и продолжают развиваться присущие ей задачи, методы и интуитивные представления, связанные с исследованием тех свойств семейств функций, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях, сохраняющих совместные распределения. Причина этого лежит в том, что в случайном явлении первичным является не вер. Так как измеряемые характеристики конечны, то теория вероятностей ограничивается изучением ел. Этим объясняются причины тех ограничений, которые были наложены на аппарат теории меры, применяемый в теории вероятностей. Однако современная теория вероятностей достаточно созрела математически, чтобы проявились первые признаки отказа от этих ограничений и перехода к изучению более общих семейств функций, отображающих пространства с мерой ( нормированной или нет) во все более и более абстрактные пространства. [5]
Теория меры Лебега позволяет дать простой ответ на вопрос: какие именно ограниченные функции интегрируемы по Риману. Имеет место следующая теорема, которую мы формулируем без доказательства: для того чтобы ограниченная функция f ( х), заданная на параллелепипеде Д, была интегрируема по Риману. [6]
В теории меры большое значение имеют суслгтские множества, определяемые как образы полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях в хаусдорфовы топологические пространства. Например, ортогональная проекция борелевского множества в IR2 на прямую может не быть борелевским множеством. Известно также, что существуют бесконечно дифференцируемая функция /: IR - ГО, и борелевское множество В С IR1 такие, что f ( B) не является борелевским. В следующей теореме перечислены важнейшие свойства суслинских множеств, часто использующиеся в теории меры. [7]
В теории меры и смежных разделах математики ( например, в эргодической теории) имеется большое число утверждений, относящихся не к индивидуальным измеримым множествам, а к классам, образованным из всевозможных почти совпадающих множеств. Иными словами, множества, принадлежащие одному классу, должны разниться на множество нулевой меры. Мы увидим впоследствии, что система всех классов, будучи разумно упорядочена, оказывается булевой алгеброй. [8]
В теории меры наиболее удобен следующий вариант ( который мы и будем применять) указанного выше приема. Мы не будем заменять S другой системой, - элементами булевского o - кольца, которые мы будем рассматривать, попрежнему являются измеримые множества. [9]
Первоначально теория меры была тесно связана с топологией, и меры долго строились только на некоторых классах топологических пространств. [10]
В теории меры наряду с понятием кольца важную роль играет более общее понятие - понятие полукольца множеств. [11]
Двойственность в теории меры в линейных пространствах / / Докл. [12]
Книг по теории меры немало, часть из них богаче по материалу, и некоторые прекрасно написаны. Я уже указывал, однако, почему вероятностникам нужен курс, написанный специально для них; кроме того, для начинающих предпочтительна книга небольших размеров. [13]
Главное значение теории меры состоит в том, что она дает опору для рассмотрения пространств измеримых функций и для интегрирования по Лебегу. [14]
В приложениях теории меры наиболее важным является понятие множества нулевой меры: как правило, математические теоремы говорят о свойствах, имеющих место почти всюду, то есть по модулю множеств нулевой меры. [15]